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Les mathématiques entre sens et automatismes. Bernard Blochs. IUFM de F-C

Les mathématiques entre sens et automatismes. Bernard Blochs. IUFM de F-C. " L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification ". Programmes 2008. Bernard Blochs. IUFM de F-C. 2. Apprendre, comprendre ?.

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Les mathématiques entre sens et automatismes. Bernard Blochs. IUFM de F-C

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  1. Les mathématiques entre sens et automatismes.Bernard Blochs.IUFM de F-C

  2. "L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification". Programmes 2008. Bernard Blochs. IUFM de F-C 2

  3. Apprendre, comprendre ? « Je m'aperçus que personne ne pouvait m'expliquer comment il se faisait que "moins par moins donne plus"… comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme arrivera-t-il à avoir une fortune de 5 000 000 francs ». Stendhal "La vie d'Henri Brulard" Bernard Blochs. IUFM de F-C 3

  4. Une difficulté : les élèves ne sont pas en général "demandeur de sens" • Où sont les petits Stendhal ?? Bernard Blochs. IUFM de F-C 4

  5. Les opérations posées, quel sens derrière la technique ? Bernard Blochs. IUFM de F-C 5

  6. Différentes techniques suivant l'histoire et la géographie ... Bernard Blochs. IUFM de F-C 6

  7. Multiplication posée en Allemagne 27 X 35 ---------- 81 + 135 ---------- 945 Bernard Blochs. IUFM de F-C 7

  8. Addition 11 357 + 678 -------- 1035 357 + 678 -------- 15 + 12 . + 9 . . ----------- 1035 Bernard Blochs. IUFM de F-C 8

  9. Technique opératoire de la soustraction (traditionnelle) - «écart constant : en ajoutant un même nombre aux deux termes d’une différence, on obtient une différence égale à la première Bernard Blochs. IUFM de F-C 9

  10. Technique opératoire de la soustraction (par complément) - équivalence entre a-b=x et b+x=a Bernard Blochs. IUFM de F-C 10

  11. Technique opératoire de la soustraction (par décomposition) • « j’aligne ce qui a même valeur » (importance de faire verbaliser) - «les unités avec les unités (les jetons avec les jetons) » - « les dizaines avec les dizaines (les barres avec les barres) » • « je ne peux pas retirer 8 jetons à 2 jetons » (8 unités à 2 unités) Bernard Blochs. IUFM de F-C 11

  12. Technique opératoire de la soustraction (par décomposition) - « oui mais on peut casser 1 barre » - « on a 1 barre en moins et 12 jetons » (on retire 1 dizaine et on obtient 10 + 2 = 12 unités) Bernard Blochs. IUFM de F-C 12

  13. Technique opératoire de la soustraction (par décomposition) - « maintenant je peux retirer 8 jetons à 12 jetons » - « puis je retire 2 barres à 3 barres » - « il me reste 14 » Bernard Blochs. IUFM de F-C 13

  14. Et s’il y a de nombreux zéros ? 7999 8000 13 76 4 -------------- 80003 - 764 -------------- Bernard Blochs. IUFM de F-C 14

  15. Technique opératoire de la multiplication 786 X 2 4 ------- 3144 1572. ---------- 18 864 Bernard Blochs. IUFM de F-C 15

  16. Technique opératoire de la multiplication 786 X 24 = 786 X 20 + 786 X 4 786 X 4 ------- 24 32 28 ------ 3144 786 X 20 ---------- 120 160. 140.. --------- 15720 3 144 + 15 720 --------------- 18 864 Bernard Blochs. IUFM de F-C 16

  17. Technique opératoire de la multiplication 7,86 X 2, 4 ------- Bernard Blochs. IUFM de F-C 17

  18. Technique opératoire de la multiplication 7,86 X 2, 4 ------- ---------- 18 864 786 X 2 4 ------- 3144 15720 ---------- 18 864 Bernard Blochs. IUFM de F-C 18

  19. Technique opératoire de la multiplication 7,86 X 100 X 2, 4 X 10 ------- ---------- : 1 000 18 864 786 X 2 4 ------- 3144 15720 ---------- 18 864 Bernard Blochs. IUFM de F-C 19

  20. La division. Exemple : partager 740 cartes entre 6 enfants • On peut raconter en français les différentes étapes d'une possibilité d'effectuer ce partage  Bernard Blochs. IUFM de F-C 20

  21. La division. • On peut commencer par partager 600 cartes, cela fait 100 cartes à chacun, •  il en reste 140 à partager.On en partage ensuite 120, • cela fait 20 de plus à chacun, • il nous en reste 20 à partager, • chacun en prend 3 il en reste 2 que l'on ne peut pas se partager. Bernard Blochs. IUFM de F-C 21

  22. La division. Bernard Blochs. IUFM de F-C 22

  23. Dans tous les cas : une économie d'écriture, de pensée qui cache le sens Bernard Blochs. IUFM de F-C 23

  24. Les pourcentages (Dico-maths, Cap maths). Bernard Blochs. IUFM de F-C 24

  25. Aire d'un rectangle. A = 6X4 Bernard Blochs. IUFM de F-C 25

  26. Périmètre d'un cercle Périmètre = diamètre X pi Combien de fois le trait bleu est-il plus long que le trait rouge ?

  27. Extrait des programmes : • "L’accès au sens et l’acquisition des automatismes ne sont pas antinomiques : c’est aux enseignants de varier les approches et les méthodes pour lier ces deux composantes de tout apprentissage" Bernard Blochs. IUFM de F-C 27

  28. Quelle place pour les automatismes ? • Pouvoir s'appuyer sur un minimum de résultats stockés dans la mémoire à long terme est souhaitable pour libérer l'esprit et lui permettre d'effectuer d'autres tâches. • Les tables figurent sans doute dans ce minimum. Il est bon d'avoir des automatismes, acquis plus ou moins consciemment, en mathématiques comme ailleurs. Bernard Blochs. IUFM de F-C 28

  29. A. Connes : "…. lorsque l'esprit humain apprend à faire des calculs, aussi simples et mécaniques soient-ils, il acquiert toutes sortes de mécanismes qui, s'ils ne sont pas acquis, vont finalement rendre l'intuition débile, impuissante.... Bernard Blochs. IUFM de F-C 29

  30. "Je pense là aux enfants des écoles : ce serait une très grave erreur de les laisser trop tôt utiliser des calculatrices, car apprendre à faire des multiplications, des additions, etc., inscrire ces opérations très simples dans le cerveau, est fondamental pour qu'à côté du mécanisme lui-même se développent progressivement une intuition et un sens des grandeurs". Extrait de : Dialogue. Castoriadis Bernard Blochs. IUFM de F-C 30

  31. Calcul mental. « Calcul mental, calcul royal » Alain.

  32. Chaque jour, 10 à 15 minutes. • Entraînement des élèves, les confronter à des exemples variés, mémoriser, gagner en rapidité, maîtrise des techniques. • Régulièrement des temps d’explicitation, de confrontation de procédures Bernard Blochs. IUFM de F-C 32

  33. L'apprentissage des tables de multiplication est long et difficile Extrait de "La Bosse des maths" de Stanislas Dehaene. Odile Jacob poche N° 116 • "Peu de leçons sont autant rabâchées que les tables d'addition et de multiplication. • Et pourtant, en dépit de cette répétition à outrance, notre mémoire arithmétique reste médiocre. • (Dans un calcul "difficile" comme 8 X 7 il y a 25% d'échecs parmi des adultes souvent après 2 s de réflexion intense.) Bernard Blochs. IUFM de F-C 33

  34. Charles David habite rue Guillaume. • Charles Guillaume habite rue Albert-Zoé. • Guillaume Étienne habite rue Albert-Bertrand. • Charles David travaille rue Albert-Bertrand • Charles Guillaume travaille rue Bertrand-Albert. • Guillaume Étienne travaille rue Charles-Etienne Bernard Blochs. IUFM de F-C 34

  35. 3+4 = 7, • 3+7= 10 • 7+5 = 12 + habite • 3 X 4= 12, • 3X 7= 21 • 7 X 5= 35 • X travaille Bernard Blochs. IUFM de F-C 35

  36. Quelques remarques sur l'apprentissage des tables et sur le calcul mental en général : • L'apprentissage des tables semble peu pris en compte par les manuels. • L’apprentissage doit se faire dans la durée. • Ne pas donner les tables mais les faire construire progressivement par les élèves. • Le jeu peut être une aide efficace pour un apprentissage assez ingrat. Bernard Blochs. IUFM de F-C 36

  37. Quelques remarques sur l'apprentissage des tables et sur le calcul mental en général : - Le calcul mental n'est pas du calcul posé fait de tête. • C'est en calcul mental que l'on a le rapport le plus direct avec les nombres, que l'on peut, sous forme de calcul réfléchi, se familiariser avec eux. Bernard Blochs. IUFM de F-C 37

  38. Paradoxe de l’automatisme 45 + 17 = ? • Algorithme écrit • 45 + 17 = 40 + 5 + 10 + 7 = 50 + 12 • 45 + 17 = 45 + 10 + 7 • 45 + 17 = 45 + 5 + 12 • 45 + 17 = 45 + 20 - 3 • On utilise : 17 = 20 – 3 17 = 5 + 12 Bernard Blochs. IUFM de F-C 38

  39. Paradoxe de l’automatisme Nécessité d’avoir ces décompositions disponibles et automatisées. Cela demande un entraînement régulier. • Trop peu d’automatismes peut renforcer l’automatisme, davantage d’automatismes permet d’échapper à l’automatisme Bernard Blochs. IUFM de F-C 39

  40. Calcul mental régulier réfléchi et automatisé • Confrontation de stratégies, mise en valeur de leur domaine d’utilisation. Le professeur met en valeur l’ économie de certaines procédures • Utilisation de jeux : (cartes, dominos, lotos …) • Exploration, mémorisation Bernard Blochs. IUFM de F-C 40

  41. Exemples d’activités : tables d’addition, de soustraction. • 8 + 7 = ? ? + 8 = 15 7 + ? = 15 ? + ? = 15 • Compléments à 10, à 100, à la dizaine supérieure • 3 > 10 63 > 70 54 > 100 25 > 325 • Ajouter, soustraire 10 ou des multiples de 10 • Décomposer additivement en faisant apparaître un nombre entier de dizaines ou de centaines : 28 = 20 + 8 327 = 300 + 20 + 7 Bernard Blochs. IUFM de F-C 41

  42. Les tables de multiplications Le travail ne se limite pas à (par exemple) : • 3 X 6 = …. mais aussi à 3 X … = 18 à …. X 6 = 18 et …. X…. = 18. • Décomposition multiplicatives, suites géométriques raison 10 ou 100 • 3 ; 30 ; 300 … • Diviser de 10 en 10 : • Multiplier et diviser par 10, 100, 5, 50, 25 Bernard Blochs. IUFM de F-C 42

  43. Importance d’arriver à une bonne familiarisation avec les nombres • 36 = 6 X 6 = 9 X 4 = 12 X 3 • "Connaître" 12 c'est comprendre que son écriture est un codage : 1 dizaine et 2 unités mais c'est aussi savoir que : • 12 = 10 + 2 = 7 + 5 = 6 + 6 = 5 + 5 + 2 = 20 – 8 etc • 12 = 4 X 3 = 6 X 2 = 2 X 2 X 3 = 24 : 2 = 36 : 3 Bernard Blochs. IUFM de F-C 43

  44. Activités systématiques de calcul mental. • Techniques élémentaires automatisées à utiliser et mémoriser > disponibles pour résoudre des pb plus complexes. • A repérer : des moments pour inventer, d’autres pour reproduire Bernard Blochs. IUFM de F-C 44

  45. Nécessité d’institutionnalisations « souples » : Percevoir le domaine d’efficacité, de validité • Pas trop fortes (trop de poids, manque d’adaptabilité), • Pas trop faibles ou tardives (tout pourrait sembler équivalent) • Les élèves doivent prendre conscience de l’éventail et de la hiérarchie des procédures. Bernard Blochs. IUFM de F-C 45

  46. Bernard Blochs. IUFM de F-C 46

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