Resolução de sistemas lineares Métodos Numéricos para Engenharia I

1. Resolução de sistemas linearesMétodos Numéricos para Engenharia I Pedro Augusto Munari Junior [munari@icmc.usp.br]

2. Aula de hoje... • Introdução • Número de soluções • Métodos para resolução • Eliminação de Gauss • Fatoração LU • Exemplos e algoritmos

3. Introdução • Sistemas lineares são de grande importância para a descrição e resolução de problemas que surgem nas mais diversas áreas da ciência e engenharia. • Geometria • Redes elétricas, hidráulicas, de tráfego, ... • Distribuição de calor • Química • Economia • Programação linear • Estatística • Jogos • ... (http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/system.html)

4. Introdução • Interpretação geométrica para sistemas de duas variáveis

5. Introdução

6. Introdução • Por que utilizar um método?

7. Introdução • Notação

8. Número de soluções • Dado um sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer: • O sistema tem solução única • O sistema tem infinitas soluções • O sistema não admite solução

9. Número de soluções Solução única

10. Número de soluções Infinitas soluções

11. Número de soluções Não admite solução

12. Número de soluções • Graficamente... • Solução única: • Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam. • Infinitas soluções: • Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções do sistema. • O sistema não admite solução: • Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

13. Número de soluções • No caso geral... • Precisamos analisar o Posto e a Imagem da matriz A, de acordo com suas dimensões m e n.

14. Número de soluções Solução única

15. Número de soluções • As colunas de A são Linearmente Independentes e formam uma base do R2. • b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A. Sistema compatível determinado

16. Número de soluções Infinitas soluções

17. Número de soluções • As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2. • Basta uma coluna de A para escrever b. Sistema compatível indeterminado

18. Número de soluções Não admite solução

19. Número de soluções • As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2. • b não pode ser escrito como combinação das colunas de A. Sistema incompatível

20. Número de soluções • Essas situações se estendem para o caso geral, sempre que m = n. • Quando m ≠ n, temos: • posto(A) ≤ min{m, n} • se m < n o sistema nunca pode ter solução única, pois posto(A) < n • se m > n o sistema pode não ter solução

21. Número de soluções • Quadro-resumo...

22. Métodos de resolução

23. Métodos de resolução • Veremos aqui métodos para a resolução sistemas com n linhas e n variáveis (a matriz A deve ter posto completo). • Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos: • Métodos Diretos • Métodos Iterativos • Veremos dois métodos diretos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU

24. Métodos de resolução • Mas... só uma pergunta antes de começar... • Se a matriz A é quadrada, por que não fazer x = A-1 b ?

25. Eliminação de Gauss

26. Eliminação de Gauss • Qual sistema é mais fácil de ser resolvido? (1) (2)

27. Eliminação de Gauss • Algoritmo...

28. Eliminação de Gauss • Consiste em transformar o sistema a ser resolvido em um sistema triangular equivalente, por meio de operações elementares. A solução é então obtida, resolvendo-se um sistema triangular.

29. Eliminação de Gauss zerar estes elementos

30. Eliminação de Gauss • Operações elementares: • Trocar duas equações; • Multiplicar uma equação por uma constante não-nula; • Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação. • Garantem que o sistema obtido é equivalente ao original

31. Eliminação de Gauss

32. Eliminação de Gauss

33. Eliminação de Gauss Zerar esses elementos utilizando operações elementares

34. Eliminação de Gauss pivô Zerar esses elementos utilizando operações elementares

35. Eliminação de Gauss

36. Eliminação de Gauss pivô Zerar esses elementos utilizando operações elementares

37. Eliminação de Gauss

38. Eliminação de Gauss Iteração 1 ... Multiplicador

39. Eliminação de Gauss Obs.: devemos ter , para todo k = 1, ..., n

40. Eliminação de Gauss • Exemplo

41. Eliminação de Gauss • Algoritmo...

42. Eliminação de Gauss • Estratégias de pivoteamento • O que acontece se o pivô for nulo? • Pivô próximo de zero pode levar a resultados totalmente imprecisos. • Para contornar esses dois problemas deve-se adotar uma estratégia para a escolha de um “bom” pivô.

43. Eliminação de Gauss • Pivoteamento parcial • Escolher para pivô o elemento de maior módulo na coluna, dentre os que ainda irão atuar no processo de eliminação. • Pivoteamento completo • Escolher para pivô o elemento de maior módulo dentre todos os elementos que ainda irão atuar no processo de eliminação

44. Eliminação de Gauss

45. Fatoração LU

46. Fatoração LU • Decompor a matriz A em um produto de dois fatores: • L: matriz triangular inferior • U: matriz triangular superior A = LU Ax = b LU x = b

47. Fatoração LU • U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. • Quem é L então? • Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?

48. Fatoração LU • U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. • Quem é L então? • Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss? Continua na próxima aula...

49. Bibliografia • Ruggiero, MAG; Lopes, VLR. Cálculo numérico. 2ª edição. 1998.