Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung

1. Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung Eine Präsentation über die wichtigsten Schritten des Erkenntnisprozesses Unterrichtsmittel zur Behandlung des entsprechenden Stoffabschnittes der Stochastik nach den Rahmenrichtlinien des Landes Sachsen-Anhalt. Autor: Ulrich Schiele

2. Histogramme von Binomialverteilungen B10; p

3. Eigenschaften von Binomialverteilungen B10; p Symmetrie Bn;p(k) = Bn;1-p(n-k) wird sichtbar Unsymmetrie der Histogramme nimmt bis p=0,5 ab, für p=0,5 liegt Symmetrie bezüglich  vor, anschließen nimmt die Unsymmetrie wieder zu Maxima der Binomialverteilung nehmen bis p=0,5 ab und anschließend wieder zu Maxima der Binomialverteilung wandern nach rechts

4. Eigenschaften der Binomialverteilung Bn; 02 Maxima der Binomialverteilung wandern nach rechts und werden kleiner, Histogramme werden breiter, Unsymmetrie nimmt ab

5. Standardisierung der Histogramme 1.Schritt Verschieben in Richtung der k-Achse um -  = - 6 Einheiten

6. 1.Schritt: Verschieben in Richtung der k-Achse um  Einheiten d(k) d(s) = d(k-) - +  1 -1 Flächeninhalt des Histogramms ist 1 s=k- s k 2.Schritt: Stauchen in Richtung der s-Achse um -Einheiten d(s) = d(k-) 1 1= 1 -1 -1 Flächeninhalt des Histogramms ist 1/ s 3.Schritt: Strecken in Richtung der y-Achse um Einheiten -1 1 -1 1 Flächeinhalt des Histogramms ist 1 Flächeinhalt des Histogramms ist 1/ x x

7. Standardisierte Binomialverteilungen Bn; 1/3 sB18; 1/3 n = 18 sB72; 1/3 n = 72 sB288; 1/3 n = 288 (x) n   x Gauß‘sche Glockenkurve

8. (0,65)  0, 323 x 0,65 Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung gesucht: B40; 0,4({18}) • = 16 2 = 9,6 Bn;p({k})  0,104 x = Formel x  0,65 Umrechnen k zu x (x) = 0,104

9. Betrachtung der Funktion  mit Mitteln der Analysis Graph der Funktion  Zu ermitteln: Ergebnisse y = f(x) = Zuordnungsvorschrift keine Nullstellen (x) = (-x) Symmetrie Extrempunkte H(0 | ) W1;2( 1 | ) Wendepunkte keine Zuordnungs-vorschrift möglich (x) = Stammfunktion Werte für die Funktion  kann man daher nicht explizit berechnen

10. Die Funktion  Funktion  kann man sich aus der summierten Binomialverteilung wie folgt entstanden denken Beispiel P(t8) =B18; 1/3({0; 1; … 8}) t Standardi-sierung B18; 1/3 Standardisierung für Beispiel x n vergrößern (x) B72; 1/3 durch den Vorgang n x x

11. Eigenschaften der Funktion  A = (t) = A = 1- (t) A = (-t) = 1- (t) A = (t2) - (t1)

12. Approximation der summierten Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung gesucht: B40; 0,4({0; 1; …;18}) • = 16 2 = 9,6 Bn;p({0;..;k})0,742 Umrechnen k zu x Formel (x) = 0,742 x=0,65 Bessere Formel

13. Kriterium für die Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung Vergleich standardisierte Binomialverteilung B40;0,4(k) mit standardisierter Normalverteilung Vergleich standardisierte Binomialverteilung B40;0,05(k) mit standardisierter Normalverteilung Fehler durch Unsymmetrie, wenn Binomialverteilung approximiert wird Fehler in Randbereichen, wenn Binomialverteilung approximiert wird s2 = 9,6 s2 = 1,9 Kriterium: np (1-p) =s2 > 9

14. Korrektur der Approximation der summierten Binomialverteilung Graph von Funktion  geht etwa durch Seitenmitte der Rechtecke, so dass ein Stück der Fläche fehlt. Ermitteln von x: Einsetzen:

15. A u s b l i c k lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace: globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace:

16. Danke für die Aufmerksamkeit