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Binomialverteilung: Beispiel. Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Hormonuntersuchung bei Kälbern. Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5. etc. Stetige Zufallsgrößen.
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Binomialverteilung: Beispiel Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p • Hormonuntersuchung bei Kälbern Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 etc. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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Stetige Zufallsgrößen • Darstellung durch Dichtefunktion f Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen : b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Stetige Gleichverteilung a b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Stetige Gleichverteilung Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt für für Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Normalverteilung: Definition Erwartungswert Varianz Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Normalverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Normalverteilung Beschreibung: „Glockenkurve“ Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Anwendung der Normalverteilung • Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell • in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei • Metrische Größen einer Population • Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen • Natürliche Variabilität • Messfehler Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al.Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Quantile der Normalverteilung: Beispiel Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit m=10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: • P (X > 20) • P (5 < X < 20) • P (-2 < X < 15) Beispiel: Fehler bei Messung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Chi-Quadrat Verteilung Beschreibung: Summe der Quadrate von n normalverteilten Zufallsgrößen Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für „independent and identically distributed“. Ist und , so gilt: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Grenzwertsätze Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels • Gesetz der großen Zahlen: Ist m der Erwartungswert einer ZG X, so • liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei m • Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005