Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas

1. Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas 4o Congreso Internacional de Tendencias en Tecnologías de la Información y Telecomunicaciones Universidad Autónoma de Querétaro Salvador Elías Venegas Andraca Grupo de Procesamiento Cuántico de la Información Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México http://www.mindsofmexico.org/sva svenegas@itesm.mx y sva@mindsofmexico.org

2. Agradecimiento Marco Antonio Aceves Fernández

3. Agenda • Introducción a la computación cuántica • Caso de estudio: caminatas cuánticas • Redes cuánticas

4. 1. Introducción a la computación cuántica

5. ¿Qué es la Computación Cuántica? (1/2) • Disciplina nacida de la física y la computación, cuyo objetivo incluye: • [Computer Scientists] Crear computadoras y algoritmos que aprovechen las propiedades cuánticas de la materia. Se busca aumentar la capacidad de las computadoras para resolver problemas y procesar información. • [Físicos] Desarrollar herramientas que permitan aguzar nuestra intuición en el estudio de la mecánica cuántica.

6. ¿Qué es la Computación Cuántica? (2/2) c) [Cualquier científico] En nuestro intento por controlar sistemas cuánticos individuales, tendremos un laboratorio para aprender más sobre la estructura del universo. d) [Industria del cómputo y comunicaciones] Comprender y aprovechar los efectos de la miniaturización a escala atómica/sub-atómica.

7. Teoría de la computación clásica • Objetivo • Conocer las capacidades y límites fundamentales de los procedimientos finitos (algoritmos) usados en la solución de problemas. • La teoría de la computación clásica se divide en: • Teoría de autómatas • Teoría de la computabilidad • Teoría de la complejidad

8. Máquina Determinística de Turing Un programa para una MDT se compone de: Símbolos de la cinta {S} Estados de la máquina {Q} Función de transición Lo siguiente suena a trabalenguas pero es importante: La máquina universal de Turing (MUT) es una máquina de Turing que puede simular a cualquier máquina de Turing.

9. La teoría de la computación clásica es una rama de la matemática que NO toma en cuenta las propiedades físicas de los sistemas en los que se implantan algoritmos. ¿Es esto importante?

10. Sí, es importante tomar en cuentadichaspropiedadesfísicas. Algunasrazones son:

11. 1. Gasto energético (conjunto universal de compuertas) OR AND NOT Las primeras dos compuertas tienen dos bits de entrada y uno de salida. Al procesar información con estas dos compuertas es necesario borrar un bit.

12. De acuerdo al principio de Landauer [1], el acto de borrar información implica un gasto energético: Principio de Landauer. Suponga que una computadora borra un bit de información. Entonces, la cantidad de energía disipada en el medio ambiente es al menos igual a KTln2, donde K es la constante de Boltzmann y T es la temperatura de la computadora. Luego, parte del calor que desprende un microprocesador y, en general, una computadora, se debe al acto de borrar información.

13. 2. Ley de Moore La complejidad de un circuito integrado se duplica cada 18-24 meses y los costos se mantienen La complejidad de un circuito integrado es directamente proporcional al número de transistores en dicho circuito. Luego, una consecuencia directa de la ley de Moore es que el tamaño de los transistores decrece constantemente. Se espera que, en algunos años, el tamaño de transistores y demás componentes alcance escalas atómicas [2].

14. 3. Simulación de sistemas físicos La simulación computacional de sistemas físicos gobernados por las leyes de la mecánica cuántica es, en general, un problema de orden exponencialrespecto del número de partículas a simular. En [3], Richard Feynman se preguntósiel uso de sistemascuánticosparasimularotrossistemascuánticospermitiríareducir la complejidad algorítmica de esteproceso.

15. Ahorabien: ¿Es posible crear un modelo computacional, esto es, un modelo matemático para la ejecución de algoritmos, que al implantarse en un sistema físico: 1) No gaste energía innecesariamente, 2) tome en cuenta los efectos de la miniaturización, y 3) pueda simular sistemas cuánticos?

16. Sí, es posible. Computación cuántica = modelo reversible de computación + mecánica cuántica

17. Modelo de computación reversible (1/5) Compuerta reversible. Unacompuertaesreversiblesi y sólosidespués de ejecutar el pasoei+1esposiblecalcular, de nuevacuenta, el pasoei. Modelo de computación reversible. Modelo matemático creado para la ejecución de algoritmos utilizando compuertas reversibles.

18. Modelo de computación reversible (2/5) Ejemplo de compuerta reversible: compuerta de Toffoli X1 X1 X2 T X2 X3 F= X3 XOR (X1 AND X2)

19. Modelo de computación reversible (3/5) Tabla de verdad de la compuerta de Toffoli Entrada Salida

20. Modelo de computación reversible (4/5) La compuerta de Toffoli es universal, esto es, para cualquier funcióncomputable f(X1, X2, …, Xn) existe un circuito M creado sólo con compuertas de Toffoli tal que M calcula el valor de f para cualquier combinación de variables X1, X2, …, Xn[4,5].

21. Modelo de computación reversible (5/5) El modelo de computación reversible evita el gasto energético previsto por la ley de Landauer.

22. ¿Existen sistemas físicos cuyo comportamiento temporal (evolución) sea como el de una compuerta reversible? Respuesta: Sí. Los sistemas (cerrados) que trabajan de acuerdo a las leyes de la mecánica cuántica.

23. Breve introducción a la mecánica cuántica (1/6) Primus inter pares: definición de qubit. La estructura matemática-física de un bit es simple: basta con definir dos valores (por ejemplo, 0 y 1) y relacionar dichos valores con dos distintos resultados de la medición de un sistema físico clásico. Ejemplo tradicional: la diferencia de potencial entre el emisor y el colector de un transistor bipolar. Si la diferencia de potencial entre E y C es menor que 0.5V entonces se registra un ‘0’ lógico. Si la diferencia de potencial entre E y C es mayor que 4.5V entonces se registra un ‘1’ lógico.

24. Breve introducción a la mecánica cuántica (2/6) Primus inter pares: definición de qubit. La contraparte cuántica del bit es el qubit. Un qubit es un sistema cuántico con al menos dos estados distinguibles y es la unidad básica de almacenamiento y procesamiento de información. Un electrón (spin up – spin down) Un fotón (polarización vertical-horizontal)

25. Breve introducción a la mecánica cuántica (3/6) Primus inter pares: definición de qubit. Un qubit se puede representar matemáticamente como un vector unitario en un espacio de Hilbert H bidimensional: Def. Sea H un espacio de Hilbert bidimensional y una base de H. La forma general de un qubit , usando la base , se escribe de la siguiente manera: donde son números complejos que cumplen con

26. Breve introducción a la mecánica cuántica (4/6) Primus inter pares: definición de qubit. Usando la base computacional podemos escribir como Los ángulos θ y Φ definen un punto en la esfera de Bloch. Nota importante: A diferencia de los bits, NO se puede hacer copias de qubits en lo general (No-cloning theorem).

27. Breve introducción a la mecánica cuántica (5/6) Postulado 2. Evolución de un sistema cuántico. La evolución de un sistema cuántico cerrado con vector de estado |ψ> se describe a través de un operador unitario : Los operadores unitarios son reversibles, i.e. existepara cualquier operador unitario .

28. Breve introducción a la mecánica cuántica (6/6) Postulado 3. Medición de un sistema cuántico. La medición en mecánica cuántica es un proceso inherentemente probabilístico. Por ejemplo, si tenemos n qubits con ecuación Y usamos operadores (proyectores) de medición y α β con resultados de medición y α Entonces veces obtendremos veces obtendremos β y

29. ¿Existe una versión cuántica de la máquina de Turing? • Sí. • En [6], David Deutsch: • Propusounamáquina universal de Turing cuántica. • Propuso el principio de Church-Turing: • Every finitely realizable physical system can be perfectly simulated by a universal model computing machine operating by finite means

30. Algunos logros en computación cuántica (1/4) • Algoritmos cuánticos • Algoritmo de Shor [7]: factorización de números primos en tiempo polinomial • Algoritmo de Grover [8]: Localización de un elemento en un conjunto desordenado en O(sqrt(n)) (el mejor algoritmo clásico tarda O(n)). • Algoritmos de búsqueda en conjuntos desordenados, basados en caminatas cuánticas.

31. Algunos logros en computación cuántica (2/4) 2. Criptografía cuántica • Decodificación de sistemas criptográficos en tiempo polinomial. • Detección de espías (eavesdropper) utilizando las propiedades de la mecánica cuántica (medición de estados cuánticos).

32. Algunos logros en computación cuántica (3/4) ¿Productoscomerciales? • Sistemas comerciales de criptografía y redes cuánticas: • IdQuantique http://www.idquantique.com/ (Suiza) • Magiq http://www.magiqtech.com/ (EE. UU.) • Dwave Systems http://www.dwavesys.com (Canadá)

33. Algunos logros en computación cuántica (4/4) ¿Experimentos a gran escala? • DARPA Quantum Network. Red de 6 nodos que conecta a las universidades de Harvard y Boston. La red transmite información a través de fibras ópticas y lo hace utilizando protocolos puramente cuánticos. • Transmisión de información cuántica (fotones) a largas distancias. Laboratorio Anton Zeilinger, universidad de Viena, Austria. • Quantum City Project: instalación de una red municipal con criptografía cuántica en Durban, Sudáfrica. Universidad de Kwazulu-Natal y SmartQuantum.

34. 2. Caso de estudio: caminatas cuánticas

35. Recordatoriobrevísimo: caminataaleatoria Froggy brinca un lugar a la derecha si la moneda cae en sol, y brinca a la izquierda si cae en águila. Si Froggy comienza su travesía en cero, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a Froggy en la posición k después de n pasos? Respuesta: Distribución binomial

36. ¿Son importanteslascaminatasaleatorias en lascienciascomputacionales? Algunos algoritmoscreadossobrecaminatasaleatoriasdiscretas son máspoderosos que suspares determinísticos. Ejemplo: KSAT y caminatasaleatorias.

37. K-SAT K-SAT (problema NP-completo) se define así: • Sea B={x1, x2, …, xn} un conjunto de variables booleanas. • Sea Ci una disyunción de k elementos de B • Sea F una conjunción de m cláusulas Ci. • Pregunta: ¿Existe un conjunto de valores para las variables booleanas contenidas en F tal que F=1? Ejemplo: caso específico de 3-SAT

38. Resolviendo el problema K-SAT A la fecha, el mejor algoritmo diseñado para la solución del problema 3-SAT toma como base una caminata aleatoria: T. Hofmeister, U. Schoning, R. Schuler and O. Watanabe, “A Probabilistic 3-SAT algorithm Further Improved”, Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, pp. 192-202 (2002)

39. Caminatas cuánticas En este nuevo paradigma, el caminante y la moneda son partículas cuyo comportamiento está regido por las leyes de la mecánica cuántica.

40. El modelo básico: Caminata cuántica discreta sobre una línea

41. Paso 1. Antes de tirar la moneda por primera vez, Homero está en la posición 0. -3 -2 -1 0 1 2 3

42. Paso 2. Después de tirar la moneda por primera vez, Homero está en las posiciones 1 y -1. Si buscamos al caminante (i.e. si medimos el sistema), encontraremos que Homero estará en la posición 1 con probabilidad=0.5 y en la posición -1 con probabilidad=0.5 -3 -2 -1 0 1 2 3

43. Paso 3. Después de tirar la moneda por segunda vez, Homero está en las posiciones 2, 0 y -2 Si buscamos al caminante (i.e. si medimos al sistema), encontraremos a Homero en una de las siguientes posiciones: 2 con probabilidad 0.25, –2 con probabilidad 0.25, 0 con probabilidad 0.5. -3 -2 -1 0 1 2 3

44. Caminatacuántica en unalíneainfinita(1/2) Gráfica 1. Note la falta de simetría en la distribución de probabilidad. Estado inicial total Probabilidad Operador de evolución Número de pasos t = 100 Posición

45. Caminatacuántica en unalíneainfinita(2/2) Gráfica 2. El cambio respecto de la gráfica anterior obedece a estados iniciales distintos. Estado inicial total Probabilidad Operador de evolución Número de pasos t = 100 Posición

46. Aplicacionesalgorítmicas de lascaminatas cuánticas Entre los ejemplos más importantes se encuentra Exponentially faster hitting.Childs et al (Journal of Quantum Information , 1:35, 2002 ) demostraron que una caminata cuántica continua en G puede ir, con probabilidad no despreciable, de ENTRANCE a EXIT en O(d2) pasos. Cualquier algoritmo clásico equivalente requeriría de un número exponencial de pasos.

47. Introducción concisa al tema: Quantum walks for computer scientists S.E. Venegas Andraca Morgan and Claypool (2008) On sale now!  Documentos concisos introducción a la teoría de la computación, ejercicios básicos de cómputo cuántico y esta presentación: http://www.mindsofmexico.org/sva

48. 3. Redes cuánticas

49. Redes cuánticas (1/6) • En redes de computadoras clásicas, la información se transmite de dos formas: • Copia de información entre sistemas físicos adyacentes • Desplazamiento, a lo largo de un canal, de un sistema físico con información. • ¿Es posible utilizar estos esquemas para transmitir información entre sistemas cuánticos?

50. Redes cuánticas (2/6) • Copia de información entre sistemas físicos adyacentes • Teorema de la no clonación (no-cloning theorem) [9,10] • No es posible copiar estados cuánticos arbitrarios, i.e. no es posible llevar a cabo la operación