FRAKTALE

1. FRAKTALE Wykonali: Igor Myśliwiec kl. II „a” oraz Łukasz Ptak kl. II „a” Pod kierunkiem Pani mgr Edyty Goduli

2. Wstęp W tej pracy chcemy przekazać w prosty i zrozumiały sposób, czym są i jak się tworzy tytułowe fraktale. Pod pojęciem „fraktal” należy rozumieć fantazyjne desenie, których elementy powtarzają się w nieskończoność, tworząc graficzną formę o niezwykłej strukturze. Z łaciny fraktal, to „fractus”, czyli coś złamanego, cząstkowego. Potocznie mianem fraktal oznacza się obiekt, którego fragmenty są identyczne do innych (tzw. samopodobieństwo), albo ukazujący takie same detale w różnych powiększeniach (tzw. „nieskończona subtelność”). Obecnie uważa się za słuszne określanie fraktala, jako zbioru, który ma nietrywialną (niepospolitą) strukturę w każdej skali, nie da się go opisać językiem geometrii euklidesowej (odmiana geometrii, w której spełniony jest tzw. postulat równoległości), ma prostą definicję rekurencyjną (odwołanie się np. funkcji do samej siebie) i poszarpany, kłębiasty wygląd. Fraktale

3. Historia Pojęcie „fraktal” zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka – Benoit B. Mandelbrot – w latach 70. XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa (cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej), postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constatnina Caratheodor’ego i Felixa Hausdorffa. Szczególnymi fraktalami zajmowali się Georg Cantor, Wacław Sierpiński, a także Helge von Koch. Fraktale

4. Konstrukcja Cantora Wspomniany już Georg Cantor zasłynął w historii matematyki przez opisanie w 1883 roku podzbioru prostej rzeczywistej. Trójkowy zbiór Cantora jest to zbiór liczb rzeczywistych z przedziału [0; 1], dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje tylko jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią, różną od zera). Rysunek 1 Przykładowy zbiór Cantora (pokazano zbiory od zerowego do piątego) Fraktale

5. Konstrukcja kocha Konstrukcja Kocha, to krzywa matematyczna, którą można zdefiniować jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Sama krzywa jest nieskończona, ale ograniczona powierzchniowo. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha. Rysunek 2 Płatek Kocha Fraktale

6. Konstrukcja Sierpińskiego Chyba najprostszym do stworzenia fraktalem jest trójkąt Sierpińskiego. Jego konstrukcję podał w 1915 roku polski matematyk Wacław Sierpiński. Jego konstrukcja polega na łączeniu środków boków trójkąta równobocznego dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze. Tak samo postępuje się z zewnętrznymi trójkątami. Rysunek 3 Przykładowy trójkąt Sierpińskiego Fraktale

7. Własności Fraktali Mandelbrot w swej pracy pt. „Fractal Geometry of Nature” podaje trzy główne własności fraktali, a są to: • Brak określenia wzorem matematycznym, a tylko zależnością rekurencyjną (wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji); • Samopodobieństwo – powiększenie w dowolnym miejscu prowadzi do ujawnienia części obiektu podobnych do całości (zbioru wyjściowego); Jest to cecha powtarzalności kształtu w nieskończoność. • Obiekty, których wymiar nie jest liczbą całkowitą. Fraktale

8. Matematycy i ich fraktale Benoit B. Mandelbrot (ur. 20 listopada 1924 w Warszawie w rodzinie żydowskiej). W 1936 roku wyjechał z rodziną do Francji. W 1954 roku otrzymał pracę w centrum badawczym IBM w USA. Zajął się tam pracą nad teorią chaosu i fraktali. W swojej książce „Fraktalna geometria przyrody” pisze: „Przypadki […] są anomaliami. Geometria fraktalna jest nowym przykładem takiej historycznej anomalii.” Zdjęcie 1 Benoit B. Mandelbrot w 2007 roku Fraktale

9. Fraktale mandelbrota Fraktale

10. Gaston Joulia (ur. 3 luty 1893 – zm. 19 marzec 1978) W wieku 25 lat Gaston Joulia opublikował 199 stronicową pracę o liczbach złożonych. („Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles”). Opisał w niej dokładnie zbiór J(f) tych liczb zespolonych dla których funkcja fn(z) , (gdzie n – liczba iteracji) pozostaje ograniczona, w momencie gdy n dąży do nieskończoności. Jego badania doprowadziły do powstania zbiorów Joulii, których on sam niestety nie mógł zrozumieć. Zdjęcie 2 Gaston Joulia grający na skrzypcach Fraktale

11. Fraktale Joulii Fraktale

12. Inne fraktale • Zbiór Mandelbrota (tzw. Żuk Mandelbrota) – podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka Benoit Mandelbrota. Rysunek 4 Zbiór Mandelbrota (tzw. Żuk Mandelbrota) Fraktale

13. Zbiór Joulii, fraktal, będący podzbiorem zespolonej płaszczyzny dwuwymiarowej. Mianem tym określa się każdy zbiór z pewnej rodziny zbiorów. Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny jeżeli ciąg należy do zbioru Mandelbrota. Zdjęcie 3 Zbiór Joulii Fraktale

14. Płonący statek to fraktal po raz pierwszy opisany przez Michaela Michelitscha i Otto E. Rösslera w 1992. Podobnie jak dla zbioru Mandelbrota. Różnica polega na występowaniu w "płonącym statku" wartości bezwzględnych we wzorze. Zdjęcie 4 „Płonący statek” (fragm.) Fraktale

15. Zastosowanie fraktali • Nadawanie realistycznych tekstur komputerowym obiektom; • Fraktalne techniki generowania naturalnych obiektów występujących w przyrodzie; • Fraktalne kodowanie obrazów; • Próba opis zjawisk fizycznych, chemicznych, etc. przy pomocy geometrii fraktalnej; • Geometria fraktalna może być wykorzystana również do modelowania komputerowego m.in. linii brzegowych, zboczy górskich, systemów komórkowych, powierzchni białek, struktur polimerów, chmur. Fraktale

16. Fraktalne kodowanie obrazów • Fraktalna kompresja obrazów jest nowa metodą kodowania obrazów; • Polega ona na wyszukiwaniu lokalnych samo-podobieństw obrazu; • Fragmenty, na które jest podzielony obraz są postrzegane jako przeskalowane i odpowiednio przetransformowane inne części obrazu, znajdujące się gdzieś w tymże obrazie; • W momencie, gdy odkodujemy tak stworzony obraz, otrzymamy typową fraktalną strukturę, czyli obraz złożony z jego mniejszych kopii; • Tego typu podejście zapoczątkował (a raczej skomercjalizował) Michael Barnsley. Napisał on książkę „Fractals Everywhere”, w której przedstawił matematyczny opis Teorii Iteracji Funkcji, która jest wykorzystywana przy tego typu kodowaniu. Fraktale

17. Fraktale w grafice komputerowej Istnieje wiele programów komputerowych dedykowanych do tworzenia obrazów fraktalnych, np. Fractint, Ultra Fractal, XenoDream, Tierazon, FractalExplorer, Apophysis, Sterling, QuaSZ, XaoS. Fraktale

18. „fraktale” w przyrodzie W przyrodzie struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane. Przykładem mogą być krystaliczne dendryty (np. płatki śniegu), system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawica lub kwiat kalafiora. Fraktale

19. Bibliografia • Fraktal Mandelbrota. (2006, wrzesień). PC-Format , strony 59-61. • „Fraktale” Jakub Czaplicki • http://arkadiusz.jadczyk.salon24.pl/66404,mandelbrot-fraktale-i-niedocenianie-ryzyka • http://pl.wikipedia.org/wiki/Wymiar_Hausdorffa • http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_Cantora • http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Kocha • http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_Sierpi%C5%84skiego • http://multifraktale.stach.org.pl/index.php/fraktale/6-definicje-fraktala-/29-wasnoci-fraktali Fraktale

20. Fraktale