1 / 194

2013 年数学建模竞赛暑期集训讲座之 规 划 模 型

2013 年数学建模竞赛暑期集训讲座之 规 划 模 型. 主讲教师：董庆来 2013 年 8 月 14 日 - 8 月 15 日. 什么是数学建模？. 什么是模型？. 模型与原型. § 概 述. 模型. 原型. 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象. 是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 玩具、照片、 飞机、火箭模型 …. 直观模型. 物质模型 （形象模型）. 物理模型. 水箱中的舰艇、 风洞中的飞机. 模 型. 思维模型. 汽车司机对方向盘的操纵.

jonathon-erik
Download Presentation

2013 年数学建模竞赛暑期集训讲座之 规 划 模 型

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 2013年数学建模竞赛暑期集训讲座之 规 划 模 型 主讲教师：董庆来 2013年8月14日- 8月15日

  2. 什么是数学建模？ 什么是模型？ 模型与原型 § 概 述

  3. 模型 原型 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象 是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物

  4. 玩具、照片、 • 飞机、火箭模型… 直观模型 物质模型 （形象模型） 物理模型 水箱中的舰艇、 风洞中的飞机 模 型 思维模型 汽车司机对方向盘的操纵 理想模型 （抽象模型） 符号模型 地图、电路图、 分子结构 数学模型

  5. 数学模型：由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法数学模型：由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法 典型模型 • 自然科学： • 爱因斯坦的质能公式E=mc2 • 社会科学： • 马克思的社会再生产公式 • 简单再生产Ⅰ（v+m）=Ⅱc • 扩大再生产Ⅰ（v+m）》Ⅱc

  6. 求解 你碰到过的数学模型——“航行问题” 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x表示船速，y 表示水速，列出方程： x=20 y =5 答：船速每小时20千米/小时.

  7. 航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 • 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。

  8. 建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型建立 反馈 模型求解 模型应用 分析检验

  9. 赛题 解法 93A非线性交调的频率设计 拟合、规划 93B足球队排名 图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路 图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题 图论、组合数学 95A飞行管理问题 非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度 动态规划、排队论、图论 96A最优捕鱼策略 微分方程、优化 96B节水洗衣机 非线性规划 § 历届竞赛赛题基本解法

  10. 97A零件的参数设计 非线性规划 97B截断切割的最优排列 随机模拟、图论 98A一类投资组合问题 多目标优化、非线性规划 98B灾情巡视的最佳路线 图论、组合优化 99A自动化车床管理 随机优化、计算机模拟 99B钻井布局 0-1规划、图论 00A DNA序列分类 模式识别、Fisher判别、人工神经网络 00B钢管订购和运输 组合优化、运输问题 历届竞赛赛题基本解法

  11. 01A血管三维重建 曲线拟合、曲面重建 01B 工交车调度问题 多目标规划 02A车灯线光源的优化 非线性规划 02B彩票问题 单目标决策 03A SARS的传播 微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计 统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 历届竞赛赛题基本解法

  12. 05A 长江水质的评价和预测 聚类、模糊评判 主成分分析、多目标决策 05B DVD在线租赁 多目标规划 06A 出版社的资源配置 线性规划、多目标规划 06B 艾滋病疗法评价及疗效预测 回归 线性规划 07A 中国人口增长预测问题 微分方程、差分方程 07B 乘公交，看奥运问题 图论、0-1 规划、动态规划 08A 数码相机定位问题 几何、优化 08B 高等教育学费标准探讨 多元回归、多目标优化 历届竞赛赛题基本解法

  13. 09A制动器试验台的控制方法分析 微元分析法 09B 眼科病床的合理安排 层次分析法，整数规划，动态规划 10A储油罐的变位识别与罐容表标定 非线性规划多元拟合 10B上海世博会影响力的定量评估 数据收集和处理，层次分析法，时间序列分析 11A城市表层土壤重金属污染分析 概率优化模型 11B交巡警服务平台的设置与调度 多目标规划，动态规划，图论，0-1规划 历届竞赛赛题基本解法 数据收集和处理、模糊评判 主成分分析 12A葡萄酒的评价 12B太阳能小屋的设计 数据处理、优化模型

  14. §规划模型 线性规划 数 学 规 划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 最优计数问题 运筹学 组 合 优 化 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 随 机 优 化 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析

  15. 数学规划模型的数学描述 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 在约束条件 和 下的最大值或最小值

  16. 目标函数 约束条件 决策变量 数学规划问题的一般形式 “受约束于”之意

  17. 优化模型的 简单分类 数学规划 连续优化 • 线性规划(LP)目标和约束均为线性函数 • 非线性规划(NLP)目标或约束中存在非线性函数 • 二次规划(QP)目标为二次函数、约束为线性 • 整数规划(IP)决策变量(全部或部分)为整数 • 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) • 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) • 一般整数规划，0-1（整数）规划 离散优化

  18. 三者皆满足的向量x是最优解 最优值：最优解的目标函数值 满足所有约束条件的向量x 称为可行解或者可行点 可行区域：所有的可行点组成的集合称为(LP)问题的可行区域. 记为D § 线 性 规 划

  19. 线性规划的解法 1、图解法（只有两个变量） 2、单纯形法 3、LINDO(LINGO) 4、MATLAB 5、EXCEL 6、椭球算法

  20. 例加工奶制品的生产计划 ☆奶制品的生产与销售 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2. 根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元. 现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制. 试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一下3个附加问题 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？

  21. 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 例加工奶制品的生产计划 每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？

  22. 每天 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 目标函数 每天获利 线性规划模型(LP) 原料供应 劳动时间 约束条件 加工能力 非负约束

  23. 模型求解 软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。

  24. 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end 三种资源 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）

  25. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 结果解释 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 影子价格 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润 35 <48, 应该买！ • 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！

  26. DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 (约束条件不变) x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72) x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内 • A1获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划 不变！

  27. 结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 (目标函数不变) 原料最多增加10 时间最多增加53 • 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!

  28. 例 自来水输送 元/千吨 甲 乙 丙 丁 小区基本用水量(千吨) 小区额外用水量(千吨) A 160 130 220 170 水库供水量(千吨) A：50 甲：30；50 B 140 130 190 150 乙：70；70 B：60 C 190 200 230 / 丙：10；20 C：50 （以天计） 丁：10；40 引水管理费 收入：900元/千吨 支出 其他费用:450元/千吨 • 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ • 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？

  29. 甲：30；50 A：50 乙：70；70 B：60 丙：10；20 丁：10；40 C：50 使引水管理费最小 问题分析 < 总需求量：120+180=300 总供水量：160 总收入900160=144,000(元) 收入：900元/千吨 支出 引水管理费 其他费用:450元/千吨 其他支出450160=72,000(元) 确定送水方案使利润最大

  30. 模型建立 确定3个水库向4个小区的供水量 决策变量 水库i 向j 区的日供水量为 xij（x34=0） 目标函数 供应限制 线性规划模型(LP) 约束条件 需求限制

  31. A(50) 甲(30;50) 50 40 乙(70;70) 50 B(60) 10 丙(10;20) C(50) 10 丁(10;40) 模型求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 24400.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 30.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.000000 X33 10.000000 0.000000 引水管理费 24400(元) 利润=总收入-其它费用-引水管理费=144000-72000-24400 = 47600（元）

  32. 利润(元/千吨) 甲 乙 丙 丁 A 290 320 230 280 B 310 320 260 300 C 260 250 220 / 问题讨论 每个水库最大供水量都提高一倍 总供水量(320) > 总需求量(300) 确定送水方案使利润最大 利润 = 收入(900) –其它费用(450)–引水管理费 目标函数 供应限制 需求约束可以不变 B, C 类似处理

  33. A(100) 甲(30;50) 100 30 乙(70;70) B(120) 40 30 丙(10;20) 50 C(100) 50 丁(10;40) 求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 总利润 88700（元） 这类问题一般称为“运输问题” (Transportation Problem)

  34. 一般运输问题的提法： 假设 A1, A2, …, Am表示某物资的m个产地；B1,B2,…,Bn表示某物资的n个销地；si表示产地 Ai的产量；dj表示销地 Bj的销量；cij表示把物资从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价。如果 s1 + s2 + … + sm= d1 + d2 + … + dn 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。

  35. 销地 产地 B1 B2 … Bn 产量 A1 A2 ┇ Am c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n ┇ ┇ ┇ ┇ cm1 cm2 … cmn s1 s2 ┇ sm 销量 d1 d2 … dn 运输问题数据表 设 xij为从产地 Ai运往销地 Bj的运输量，根据这个运输问题的要求，可以建立运输变量表。

  36. 销地 产地 B1 B2 … Bn 产量 A1 A2 ┇ Am x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n ┇ ┇ ┇ ┇ xm1 xm2 … xmn s1 s2 ┇ sm 销量 d1 d2 … dn 运输问题变量表

  37. 于是得到下列一般运输问题的模型： mn min f =   cij xij（1） i=1 j=1 n s.t.  xij sii = 1,2,…,m（2） j=1 m xij(=,)djj = 1,2,…,n（3） i=1 xij 0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) （4） 在模型（1）—（4）中，式（2）为 m 个产地的产量约束；式（3）为 n个销地的销量约束。

  38. 对于产销平衡问题，可得到下列运输问题的模型： m n min f =   cij xij i=1 j=1 n s.t.  xij = sii = 1,2,…,m(5) j =1 m  xij = djj = 1,2,…,n (6) i =1 xij ≥ 0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

  39. 运输问题是一种特殊的线性规划问题，在求解时依然可以采用单纯形法的思路。运输问题是一种特殊的线性规划问题，在求解时依然可以采用单纯形法的思路。 • 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。 • LINGO

  40. 例货机装运 重量（吨） 空间( 米3/吨） 利润（元/吨） 前仓： 10；6800 中仓： 16；8700 后仓： 8；5300 货物1 18 480 3100 货物2 15 650 3800 货物3 23 580 3500 货物4 12 390 2850 三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3) 飞机平衡 三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 如何装运，使本次飞行获利最大？

  41. 模型假设 货机装运 每种货物可以分割到任意小； 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨） i=1,2,3,4,j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓) 决策变量

  42. 10；6800 16；8700 8；5300 货机装运 模型建立 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量 目标函数(利润) 货舱重量 约束条件 货舱容积

  43. 10；6800 16；8700 8；5300 货机装运 模型建立 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量 平衡要求 约束条件 货物供应

  44. 运输问题 运输问题的扩展 货机装运 模型求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物2：前仓10,后仓5；货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。 最大利润约121516元 货物~供应点 货舱~需求点 平衡要求

  45. § 目 标 规 划 例生产安排问题 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。 问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？

  46. ☆ 线性规划建模 该例1是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型 设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型： 用Lindo或Lingo软件求解,得到最优解

  47. ☆ 目标规划建模 在上例1中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)： • 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要借助于目标规划的方法进行建模求解

  48. ☆ 线性规划建模局限性 • 线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足； • 线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以相互转化的，处理时不一定要严格区分； • 线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别 • 线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。

  49. ☆ 目标规划的数学模型 目标规划的基本概念 为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1.设置偏差变量; 2.统一处理目标与约束; 3.目标的优先级与权系数。

  50. 1.设置偏差变量 用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 　　　　　　　其中 与 至少有一个为0 • 约定如下： • 当实际值超过目标值时，有 • 当实际值未达到目标值时，有 • 当实际值与目标值一致时，有

More Related