TEORIA DOS NÚMEROS

1. TEORIA DOS NÚMEROS Embora existam diversos tipos de números na Matemática (reais, complexos, etc.), o nome "Teoria dos Números" é tradicionalmente reservado para o estudo dos Números Inteiros, isto é: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Também é usado o nome "Aritmética", proveniente de arithmós, que em grego significa "número". Tanto a Aritmética quanto a Álgebra pertencem ao Cálculo. A Aritmética opera sobre os valores enquanto que a Álgebra se ocupa das funções.

2. PROPRIEDADES As propriedades mais cruciais dos números inteiros, e que não têm similares nos reais ou nos complexos, são o Princípio da Boa Ordenação, segundo o qual qualquer conjunto não vazio de inteiros, limitado inferiormente, possui um elemento mínimo; e o Princípio da Indução, segundo o qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n=a, e a veracidade de P(n) acarretar a veracidade de P(n+1), então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior ou igual a a.

3. A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação < e do Princípio da Boa Ordenação (ou do da Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda a Teoria dos Números. Um de seus resultados mais importantes é o Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e –1) pode ser escrito de modo único como um produto de fatores primos.

4. A DIVISIBILIDADE Um conceito chave em Teoria dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros é diferente. Um inteiro a só é divisível pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a=bc. Nesse caso, diz-se também que b é um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a é múltiplo de b.

5. Por exemplo, 8 é divisível por 2, mas não é por 3. Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se sempre encontrar, de modo único, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a=bc+r, com 0 < r < b.

6. NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS • NÚMEROS PRIMOS • Todo inteiro a é divisível por 1, -1, a e -a. Estes são os divisores triviais de a. Um inteiro é dito primo quando só possui os divisores triviais, ou seja, só é divisível por 1 e por ele próprio.

7. NÚMERO COMPOSTO • Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que não seja primo (isto é, possua divisores não triviais) é dito composto. • Por exemplo: São primos: 2, -2, 3, -3, 17, .... São compostos 6=2x3, -8=(-2)x4, ... Os números 0, 1 e –1 não são primos nem compostos. • Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos.

8. Por exemplo: • São primos: 2, -2, 3, -3, 17, .... • São compostos 6=2x3, -8=(-2)x4, ... • Os números 0, 1 e –1 não são primos nem compostos. • Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos. • É possível escrever os 1000 primeiros Números Primos.

9. Estes números têm uma enorme importância na criptologia. Por este motivo, existe uma página especial dedicada aos Números Primos.

10. MÁXIMO DIVISOR COMUM O máximo divisor comum dos inteiros não nulos a e b tem a propriedade de ser múltiplo de qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o máximo divisor comum de a e b for 1, então seus únicos divisores comuns são 1 e –1. Nesse caso, a e b são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si.

11. CARACTERÍSTICAS DA TEORIA DOS NÚMEROS • Uma das características da Teoria dos Números é que ela inclui problemas extremamente simples de enunciar e ao mesmo tempo incrivelmente difíceis de resolver. Um exemplo é a conjectura de Feuerbach: "todo número par é a soma de dois números primos"; ninguém até hoje conseguiu decidir se isto é verdadeiro ou falso.

12. Outro exemplo é o famoso Último Teorema de Fermat: Dado um inteiro n maior que 2, é impossível encontrar inteiros não nulos x, y, z tais que Este teorema, enunciado no século XVII por Fermat, só foi demonstrado em 1995, por Wiles (ver livro “O último teorema de Fermat, escrito por Simon Singh) Xn + yn = zn