АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Урок - турнир МОУ Могочинская СОШ учитель математики Тарасенко Ирина Валерьевна

2. Цели • обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; • отработка умений и навыков применения формул n-го члена прогрессии, суммы n - первых членов, свойств членов прогрессии; • развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом; • воспитание эстетических качеств и умения общаться.

3. Задачи • повторить формулы, относящиеся к теме «Прогрессии»; • расширить кругозор по данной теме; • показать связь математики с другими дисциплинами (литературой, биологией, экономикой…); • формирование интереса к изучению математики.

4. Содержание • Лови ошибку! – вспомним теорию. • Прогрессии в литературе. • Назад, в историю! • Прогрессии в древности. • Прогрессии в жизни и быту. • Блиц-турнир. • Заключение.

5. a b Лови ошибку!

6. a b Проверь себя!

7. Вывод Зная эти формулы, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

8. Прогрессии в литературе • Даже в литературе мы встречаемсяс математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина". • ...Не мог он ямба от хорея, • Как мы не бились отличить... • Ямб-это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8...Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. • Хорей-это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуютарифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

9. Примеры Ямб «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» Прогрессия: 2; 4; 6; 8... Хорей «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

10. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

11. Прогрессии в древности Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, делениенаследства и др.

12. Древний Египет Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

13. Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» Формула, которой пользовались египтяне: Древний Египет

14. Арифметическая Геометрическая Англия XVIII век В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

15. Германия Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы. КАРЛ ГАУСС(1777 – 1855) Решение 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

16. Прогрессии в жизни и быту Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.

17. Задача легенда Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

18. Дано ; 1, 2, 4, 8, 16… Ее сумма равна 18 446 744 073 709 551 615 Решение задачи - легенды n = 64

19. Вывод Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

20. Задача из арифметики Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей.Но покупатель,обретя лошадь,раздумал и возвратил продавцу,говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь,которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: "Если по-твоему цена  лошади высока,то купи ее подковные гвозди,лошадьже получишь тогда в придачу бесплатно.Гвоздей в каждой подкове 6.За первый гвоздь дай мне 1/4 коп.,за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель,соблазненный низкой ценой,и желая даром получить  лошадь,принялусловия продавца,рассчитывая,что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

21. 1. Составим последовательность чисел 2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 24. 3. Попытаемся подсчитать сумму 4. Зная формулу 5. Имеем Решение задачи из арифметики Магницкого

22. НАСЛЕДСТВО Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

23. Применив формулу ,получаем: Применив формулу Решение

24. БАКТЕРИИ В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.

25. Данная последовательность является геометрическойпрогрессией со знаменателем q =2,n = 7. Зная формулу Получаем м Решение

26. Переменка Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

27. Зная формулу Значит Откуда Решение Составим последовательность чисел Вывод: не дойдет!

28. Блиц-турнир Под скрип пера о лист бумаги Заполните сие листы! Да помогут вам ваши знания!

29. Расшифруйте ответы

30. Изрядно потрудившись, собрали вы слова Ипоиск их был вами оценен. Слова же следует теперь соединить, В какую фразу можно их объединить?

31. Проверь себя!

32. Заключение Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг «Прогрессия — движение вперед».

33. Домашнее задание • Подготовить выступления о жизнедеятельности К. Гаусса и Л. Ф. Магницкого. • Подобрать «исторические» задачи по теме «Прогрессии». • Составить контрольную работу по теме «Прогрессии».

34. Спасибо за внимание!