UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC

1. UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC POR: TORRES MIRANDA CORINA THALIA

2. ECUACIONES CUADRATICAS • 1.- ¿Qué es una ecuación? • 2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática? • 3.- soluciones de una ecuación cuadrática • 4.- tipos de soluciones • 5.- Ejemplos

3. ¿Qué es una ecuación? • Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

4. Ejemplo de una ecuación • La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

5. ¿Qué es una ecuación cuadrática? • Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. • Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

6. Soluciones de una ecuacion cuadrática • El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: • ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

7. La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

8. Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

9. Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

10. Tipos de soluciones: Reales e imaginarias • Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber: • Dos raíces reales distintas • Una raíz real (o dos raíces iguales) • Dos raíces imaginarias distintas

11. El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: • D = b2 - 4.a.c • Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

12. Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número. • Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas

13. ejemplos • Factorización Simple: • Completando el Cuadrado: • Fórmula Cuadrática:

14. FACTORIZACIÒN SIMPLE • La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

15. x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]   ( x +   )   (x  -   ) = 0 • (x + 4 ) (x – 2) = 0                                4 y –2     4 + -2 = 2                                                                    4 · -2 = -8 • x + 4 = 0       x – 2 = 0 • x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

16. COMPLETANDO EL CUADRO • En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.  Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: • 4x2 + 12x – 8  = 0 4        4      4      4 • x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.

17. x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.] • x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]   x2  + 2x + 1    = 8 + 1 • x2  + 2x + 1 = 9 • (       )  (      )  = 9      Hay que factorizar. • Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

18. ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 • (x + 1) = ±  • x + 1 =  ± 3 • x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.] • x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4

19. x + 1 =  ± 3 • x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.] • x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4

20. FÒRMULA CUADRATICA • Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

21. X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6          2 X =  -2 + 6     x = -2 - 6           2                  2    x = 4          x = -8        2                  2 x = 2      x = - 4

22. FIN