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INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRACIÓN POR PARTES. PACFGS * TEMA 132. INTEGRACIÓN POR PARTES. Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes:

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  1. INTEGRACIÓN POR PARTES PACFGS * TEMA 132 Matemáticas Acceao a CFGS

  2. INTEGRACIÓN POR PARTES • Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes: • Sea  f(x).g(x) dx , en general. • [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ] • f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du • f(x) = u  f ’(x) dx = du • g(x) dx = dv g(x) dx = dv = v • La segunda integral ,  v du , suele ser inmediata. • De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA. Matemáticas Acceao a CFGS

  3. EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du • x • 1 - Calcular x e dx • cambio de variables: • x = u  dx = du ; • x x • e dx = dv  e dx = v • x x x x • quedándonos I = x.e -  e dx = x.e - e + C • 2. Calcular L x dx. • cambio de variables: Lx = u  1/x dx = du ; • dx = dv  dx = v • quedándonos I = Lx .x -  x . 1/x dx = Lx . x -  dx = Lx . x - x + C Matemáticas Acceao a CFGS

  4. EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du • 3 - Calcular x2 ex dx • cambio de variables: • x2 = u  2x dx = du ; • ex dx = dv  ex dx = ex = v • quedándonos I = x2 ex -  2x ex dx • Calculamos  2x exdx. • cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ; • ex dx = dv  ex dx = ex = v • quedándonos I = x2 ex - [ 2x. ex -  2 ex dx ] = • = x2 ex - 2x. ex + 2 ex + k Matemáticas Acceao a CFGS

  5. EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES • f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du • 4 - Calcular x2 sen x dx • cambio de variables: • x2 = u  2x dx = du ; • sen x dx = dv  sen x dx = - cos x = v • quedándonos I = - x2 cos x -  - 2x cos x dx • Calculamos  - 2x cos xdx. • cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ; • cos x dx = dv  cos x dx = sen x = v • quedándonos I = - x2 cos x - [ - 2x sen x -  - 2 sen x dx ] = • = - x2 cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k Matemáticas Acceao a CFGS

  6. INTEGRAL CÍCLICA • x • Calcular sen x .e dx f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du • Veamos sen x dx = dv  v =  sen x dx = - cos x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x x • I = e (- cos x ) -  - cos x . e dx = - e . cos x +  e . cos x dx • Nueva integración por partes: • Veamos cos x dx = dv  v = cos x dx = sen x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x • I = - e . cos x + e sen x -  e . sen x dx • x x • 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2 Matemáticas Acceao a CFGS

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