OPERAČNÍ A SYSTÉMOVÁ ANALÝZA

1. OPERAČNÍ A SYSTÉMOVÁ ANALÝZA Teorie grafů

2. Základní pojmy Vrchol grafu:{množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem nebo bodem v grafu. Hrana grafu: {množina E} Reprezentuje spojení jednotlivých vrcholů. Toto spojení vyjadřuje nějaký vztah mezi vrcholy. Teorie grafů - Michal Brejcha

3. Základní pojmy Orientovaný a neorientovaný graf V orientovaném grafu jsou vždy orientované hrany, tj. hrany s definovaným počátečním a koncovým vrcholem. V neorientovaných grafech se lze pohybovat přes hrany oběma směry. Hrany i vrcholy jsou v četných aplikacích ohodnoceny Ohodnocený orientovaný (neorientovaný) graf

4. Základní pojmy Sled: Orientovaný v1, e1, v2, e2, v3, e5, v4 Neorientovaný v2, e3, v3, e5, v4, e6, v1 Není sledem v1, e2, v3, e5, v2, e1, v4 Posloupnost vrcholů a hran jak jdou za sebou.

5. Základní pojmy Tah Sled, kde se neopakují hrany Cesta Sled, kde se neopakují vrcholy Kořenový strom - orientovaný graf, kde existuje vrchol r (kořen), ze kterého jsou všechny vrcholy dostupné a nevede do něj žádná hrana.

6. Speciální pojmy • Hamiltonovská cesta: Cesta, která projde všemi vrcholy a každým pouze jedenkrát (turista). • Eulerův tah: Tah, který projde všemi hranami a každou pouze jedenkrát (sedm mostů v Königsbergu).

7. Popis grafu • Incidenční maticí – orientace hran (+1, -1) • Matice sousednosti – počet hran mezi sousedy • Spojové seznamy – seznamy následníků • Matice délek – délka hrany mezi vrcholy (i,j) • Matice vzdáleností

8. Úlohy s grafy Grafické znázornění úlohy je názorné a v jednoduchých případech lze odhalit řešení i bez použití jakéhokoliv algoritmu. Úloha pro převozníka: Vlk, koza, zelí

9. Vlk, koza, zelí

10. Vlk, koza, zelí

11. Vlk, koza, zelí

12. Prohledávání grafů Úkolem prohledávání je hledání cesty z daného výchozího vrcholu do jednotlivých vrcholů grafu. To může pomoci i při vytváření grafu pro danou úlohu. • Tři způsoby prohledávání: • Značkování vrcholů • Prohledávání do šířky • Prohledávání do hloubky

13. Značkování vrcholů Vrcholům přiřazujeme značky, pokud vrchol značku má, pak do něj vede cesta z daného výchozího vrcholu => vyjadřuje možnost Výsledek lze převézt na kořenový strom, pokud zaznamenáme každou použitou hranu a její počáteční a koncový vrchol. U neorientovaných grafů má tato metoda malý význam (pouze u velmi složitých, kde není zřejmé propojení jednotlivých vrcholů částí grafu).

14. Značkování vrcholů

15. Značkování vrcholů

16. Značkování vrcholů

17. Značkování vrcholů

18. Značkování vrcholů Vlastnosti: • Odpovídá na otázku: „Je možné?“ • Jednoduchý algoritmus • Malé časové nároky: max V(G) – 1 • Nelze jej použít při hledání cest s určitými vlastnostmi (nejkratší, nejdelší).

19. Prohledávání grafu do šířky Algoritmus lze přirovnat ke štěpné reakci. Probíhá tak, že počátečnímu vrcholu označíme všechny následníky, pak označíme následníky následníků atd. Metoda vede k nalezení nejkratší cesty, za předpokladu, že hrany mají stejnou hodnotu => nejmenší počet tahů.

20. Prohledávání do šířky

21. Prohledávání do šířky

22. Prohledávání do šířky

23. Prohledávání do šířky

24. Prohledávání do šířky

25. Prohledávání grafu do šířky Vlastnosti: • Podobné časové nároky jako v případě značkování vrcholů: max V(G) – 1 • Získáme kořenový strom s nejmenším počtem úrovní

26. Prohledávání do hloubky Podobá se průzkumu neznámých tras. Je základem pro další metody. Jdeme do hloubky grafu kam až můžeme a pak se vracíme a hledáme odbočky, kterými lze dále pokračovat. Algoritmus je časově náročnější než oba předešlé, avšak jeho úpravou a zaznamenáváním jednotlivých tras jej lze využít pro hledání cest splňujících nějakou speciální podmínku. Například cesta začínající v r a obsahující všechny vrcholy =Hamiltonovská cesta

27. Návštěvník zábavního parku • Chce se dostat na všechny atrakce • Atrakce jsou spojeny elektrickým vláčkem • Žádné nádraží nechce navštívit dvakrát

28. Návštěvník zábavního parku • Naplánuje jednu trasu a kouká kam až dojde. • Označí si koncový vrchol a vrchol, který mu zabránil v cestě.

29. Návštěvník zábavního parku • Vrací s e zpět, až k prvnímu vrcholu, kde může odbočit. • Označí hranu, kterou se vrátil. • Pokud narazí na další koncový bod, vrátí se až za nejbližší vrchol, který působí konec a začne hledat znovu

30. Návštěvník zábavního parku

31. Návštěvník zábavního parku

32. Návštěvník zábavního parku

33. Eulerův tah • Uzavřený:  Vrátíme se do stejného vrcholu • Otevřený: •  Skončíme v jiném vrcholu

34. Eulerův tah Uzavřený: • Neorientovaný – vrcholy mají sudý stupeň • Orientovaný – počet vstupních hran je stejný jako počet výstupních • Otevřený: • Neorientovaný – obsahuje právě dva vrcholy s lichým stupněm • Orientovaný – stejně jako neor. + do jednoho vrcholu musí hrana vcházet, z druhého vycházet.

35. Eulerův tah Sedm mostů v Königsbergu Musí se začít ve spodních vrcholech! Oblíbená hvězda, kterou nelze nakreslit jedním tahem.

36. Nejkratší cesty Úloha: najít nejkratší cestu • z daného výchozího vrcholu do daného cílového vrcholu • z daného výchozího vrcholu do každého vrcholu • z každého vrcholu do daného cílového vrcholu • mezi všemi uspořádanými dvojicemi Lze vynechat smyčky a rovnoběžné hrany

37. Nejkratší cesty Aby byla úloha řešitelná, nesmí graf obsahovat záporný cyklus. Pokud jej obsahuje, lze zkracovat vzdálenost do nekonečna. Platí trojúhelníková nerovnost.

38. MATICE DÉLEK Charakterizuje délky hran mezi jednotlivými vrcholy. Definice: aii= 0, aij= délka hrany mezi vrcholy i a j; Pokud zde hrana nevede, pak značím nekonečno.

39. MATICE VZDÁLENOSTÍ Charakterizuje vzdálenosti jednotlivých vrcholů. Definice: uii= 0, uij= vzdálenost mezi vrcholy i a j; Pokud do vrcholu j nevede cesta z i pak je uij rovno nekonečnu.

40. MATICE VZDÁLENOSTÍ Matice vzdáleností je přímo maticí nejkratších cest. Pokud nás nezajímá kudy cesta vede, lze použít k jejímu výpočtu následující způsoby: • Upravené násobení matic • Floydův algoritmus

41. MATICE VZDÁLENOSTÍ Floydův algoritmus: Podmínka:

42. MATICE VZDÁLENOSTÍ Příklad: Minimální náklady na dopravu zboží

43. MATICE VZDÁLENOSTÍ Příklad: Minimální náklady na dopravu zboží

44. Konstrukce nejkratších cest • Není vždy žádoucí určovat celou matici (paměť počítače), chceme jen řádek týkající se našeho výchozího bodu. • Chceme vědět, kudy nejkratší cesta vede. • Možnosti: • Ve Floydově algoritmu přibude matice Q(i,j), informující o vrcholu těsně následujícím za vrcholem i při cestě z i do j. • Algoritmus s opakovanou kontrolou všech hran

45. Opakovaná kontrola všech hran Podmínka: Výpočet končí, pokud po průchodu všemi hranami nedošlo k žádné změně U. Zápis provádíme nejlépe formou tabulky, kde každému Kv(e) náleží dva sloupce: U(Kv(e)), odkud(Kv(e))

46. Kritická cesta Příklad: Chceme najít nejdelší cestu z vrcholu 0 do vrcholu 5. Cesta s nejdelšími časovými nároky

47. Hledání kritické cesty

48. Hledání kritické cesty

49. Grafy – Reprezentace grafu Matice sousednosti • Dvou dimenzionální pole, hodnoty A(i,j) jsou ohodnocením hrany mezi vrcholy i,j • Pro neohodnocený graf jsou prvky matice typu Boolean • Neorientované grafy mají A symetrickou podle diagonály

50. Grafy – Reprezentace grafu • Využívá pole seznamů • Jeden seznam (sousedů) pro každý vrchol • Vhodné, když chceme měnitelný počet hran Seznamem sousednosti