1 / 14

Rappels de logique des prédicats du 1er ordre

Rappels de logique des prédicats du 1er ordre. G. Falquet. Langage. Vocabulaire : symboles de variables, constantes, fonctions, prédicats. arité des fonctions et prédicats parenthèses connecteurs logiques: ¬     quantificateurs: $ , ". Grammaire. terme --> constante | variable

kadeem
Download Presentation

Rappels de logique des prédicats du 1er ordre

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Rappels de logique des prédicatsdu 1er ordre G. Falquet

  2. Langage • Vocabulaire : symboles de variables, constantes, fonctions, prédicats. • arité des fonctions et prédicats • parenthèses • connecteurs logiques: ¬     • quantificateurs: $, "

  3. Grammaire terme --> constante | variable terme --> fonction ( terme, ... ) atome --> prédicat ( terme, ... ) littéral --> atome | ¬atome formule --> atome | f. kf. formule --> " var. f. | $ var. f.

  4. Sémantique Interprétation I d’un vocabulaire W • domaine D • pour chaque constante c de W, cI de D • pour chaque symbole de fonction n-aire f, fonction fI de Dn dans D • pour chaque symbole de prédicat n-aire P, relation PI sur Dn

  5. Interprétation des formules • assigner des valeurs de D aux variables libres • f(t1, …, tn)I = fI(t1I, …, tnI) • P(t1, …, tn)I = vrai ssi (t1I, …, tnI) dans PI "x w(x) I = vrai ssi w(x)[x = d]I = vrai pour tout d de D $x w(x) I = vrai ssi w(x)[x = d]I = vrai pour au moins un d de D

  6. Modèle Soit F = {w1, …, wn} un ensemble de formules fermées, un modèle de F est une interprétation I telle que w1I = vrai , …, wnI = vrai. F est dit satisfaisable s’il existe au moins un modèle de F. S’il n’existe pas de modèle de F on dit que F est inconsistant.

  7. Exemple F = {P(a, b), ¬ $y P(a, y) } est inconsistant

  8. Calculabilité (1) • Problème: prouver la satisfaisabilité de F • Trouver un modèle • S'il n'y a pas de variables ni de fonctions (logique des propositions) • algorithme: • énumérer toutes les interprétations • vérifier si c'est un modèle de F • on ne peut faire mieux (NP-complet)

  9. Théorie logique du 1er ordre • Approche syntaxique • Axiomes • Règles d'inférence • But: produire des théorèmes qui sont "vrais" c-à-d conséquences logiques des axiomes

  10. Axiomes (schémas) • v  (w  v) • (v  (w  u))  ((v  w)  (v  u)) • (¬ w  ¬ v)  ((¬ w  v)  w) "x w  w(t/x) où t est un terme qui est “librement substituable pour x dans w” ("x (v  w))  (v "x w) si v ne contient aucun occurrence libre de x.

  11. Règles • Modus ponens • u  v, u --> v • Généralisation • u --> "x u

  12. Bonnes propriétés La théorie est • valide (sound), tout théorème déduit à l’aide des règles est une tautologie (valide); • consistante, il n’y a pas de formule w telle que w et ¬ w; • complète, toute tautologie est un théorème; • on a un théorème de déduction. si u --> v alors --> (u  v) sous quelques conditions

  13. Théories "pratiques" • Remplacer les deux règles MP et GENpar des règles "plus efficaces" • p.ex. principe de résolution de Robinson • Utiliser des équivalences • u  v == ¬u  v, etc. • normaliser les formules

  14. Calculabilité (2) • Il n'y a pas d'algorithme de test de satisfaisabilité • On peut appliquer les règles d'inférence mais on ne peut prédire l'arrêt • L'ensemble des formules fermées non satisfaisable est récursivement énumérable mais pas récursif • il y a un algorithme qui répond "non sat." ou tourne indéfiniment, c'est tout ce qu'on peut faire

More Related