1.a. LUGAR DAS RAÍZES

1. 1.a. LUGAR DAS RAÍZES CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que fornece a trajetória de deslocamento dos pólos do sistema frente a variação de um parâmetro da equação característica do sistema. O método representa graficamente os pólos da função de transferência em malha fechada e as suas várias localizações, em função da variação de algum parâmetro presente na função de transferência. O lugar das raízes (root locus) nos dá a trajetória que as raízes vão ter quando nós fecharmos a malha de controle, ou seja, a migração das raízes da malha aberta para a malha fechada. SISTEMAS I

2. 1.b. LUGAR DAS RAÍZES SISTEMA GENÉRICO: FTMF (s) = T(s) =C(s) / R(s) = [K.G(s)] / [1 + K.G(s).H(s)] EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA: Q(s) = 1 + K.G(s).H(s) = 1 + FTMA(s) = 0  FTMA(s) = -1 1) Condição de Módulo: |FTMA(s)| = 1 2) Condição de Fase:  FTMA(s) = + 180.(2n + 1) graus SISTEMAS I

3. 1.c. LUGAR DAS RAÍZES RAÍZES DA MALHA FECHADA: Todos valores de “s” que satisfizerem as condições de Módulo e de Fase serão raízes da equação característica, ou seja, pólos da FTMF(s) = T(s). Condição de Módulo: pode ser satisfeita para uma dada combinação de valores de “s” e ”K”. Condição de Fase: pode ser considerada isoladamente, pois não depende do parâmetro K. SISTEMAS I

4. 2.a. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 1): Obter a equação característica [1 + FTMA(s)] e escrevê-la na forma canônica. 1 + FTMA(s) = 0 PASSO 2) Rearranjar a equação característica de forma a explicitar o parâmetro a ser variado. 1 + K.P(s) = 0 PASSO 3) Achar os pólos e zeros do polinômio P(s), reescrevendo a equação característica. SISTEMAS I

5. 2.b. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 4): Plotar um mapa no plano complexo s, com os pólos e zeros obtidos no Passo 3). PASSO 5) Plotar as possíveis trajetórias dos pólos sobre o eixo real, utilizando-se a regra a seguir: “Existirá um segmento do LR no eixo real sempre que houver um número ímpar de singularidades (pólos e zeros) à direita do segmento”. SISTEMAS I

6. 2.c. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 6) Determinar o número de assíntotas do RL. O RL começa (K = 0) nos pólos de P(s) e termina (K  + ) nos zeros de P(s). na = np - nz na = número de assíntotas np = número de pólos de P(s) nz = número de zeros de P(s) As assíntotas definem as trajetórias dos pólos em malha fechada para K  + . SISTEMAS I

7. 2.d. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 7) Determinar o Centróide e o(s) Ângulo(s) de Partida da(s) assíntota(s). Centróide = ponto onde as assíntotas cruzam-se (centro geométrico do LR): a = (p - z) / (np - nz), onde  = somatório Ângulo(s) de partida que a(s) assíntota(s) faz(em) com o eixo real: a = [180.(2n + 1)] / (np - nz), onde n = 0, 1, ..., (na - 1) PASSO 8) O RL é simétrico em relação ao eixo real. SISTEMAS I

8. 2.e. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 9) Definir os pontos de quebra (pontos de saída do eixo real) ou de colisão (pontos de entrada no eixo real). É um problema de máximos e mínimos. K máximo = pontos de saída; K mínimo = pontos de entrada. K = - [(s - pj)] / [(s - zi)], onde  = produtório Expressão 1: dK / ds = - [d(1 /GH) / ds] = 0 Expressão 2: [d(GH) / ds] = 0 SISTEMAS I

9. 2.f. REGRAS DE CONSTRUÇÃO PASSO 10) O LR são os lugares onde a FTMA(s) atinge módulo = 1 e fase = 180. PASSO 11) Determinar o cruzamento do RL com o eixo imaginário jw. Efetuar o procedimento de Routh-Hurwitz com o polinômio do denominador da FTMF(s), ou seja, a equação característica Q(s) = 1 + K.FTMA(s). Em seguida, determinar os valores de K para não ocorrer mudanças de sinal na 1a. coluna do arranjo. Estes K são levados em Q(s) = 0 e fornecem as intersecções com o eixo imaginário. SISTEMAS I