Concepto de función

1. f(x) = x2 R R Dominio • 4 • 5,29 • 25 Recorrido f(2) = 4 • 2 • 2,3 • 5 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25 Concepto de función Una función es una ley que asigna a cada elemento x, de un conjunto un único elemento, f(x) llamado imagen, de otro o del mismo conjunto • Dominio y recorrido • El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su dominio. • El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes. Final

2. Y Rec(f) = [0, 2 ] X Dom(f) = [-2, 2] Dominio y recorrido Final

3. x Gráfica de la función y = 1 + x2 Gráfica de una función La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función f en el elemento x • El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos. • Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función. Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Final

4. x Gráfica de la función y = 1 + x2 Gráfica de una función La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función f en el elemento x • El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos. • Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función. Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Final

5. Gráficas de algunas funciones (II) • Es una parábola • Dom (f) = R • Rec(f) = [0, +) • Es una cúbica • Dom (f) = R • Rec(f) = R Final

6. Gráficas de algunas funciones (III) • Es una hipérbola • Dom (f) = R - {0} • Rec(f) = R - {0} • Dom (f) = [0, +) • Rec(f) = [0, +) Final

7. Gráficas de algunas funciones (IV) • Dom (f) = R • Rec(f) = R Final

8. Y x - 1 si x >0 1 x + 1 si x  0 -1 X 1 -1 Funciones definidas a trozos • Dom (f) = R • Rec (f) = R Final

9. Y x si x >0 - x si x  0 X Función y = |x| • Dom (f) = R • Rec (f) = [0, +) Final

10. Y -2 -1 1 2 3 X Función y = [ x ] • Dom (f) = R • Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....} Final

11. Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Gráfica de y = f(x)+2 Gráfica de y = f(x) Final

12. Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Gráfica de y = f(x+2) Gráfica de y = f(x) Final

13. Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente Se dilata la gráfica verticalmente al doble Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Final

14. Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OX Gráfica de y = - f(x) Gráfica de y = f(x) Final

15. Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Gráfica de y = f(2x) Gráfica de y = f(x) Final

16. Gráficas de f(x) y de f(-x) (II) Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OY Gráfica de y = f(-x) Gráfica de y = f(x) Final

17. P(-x, f(-x)) P(x, f(x)) -x x x = 0 Funciones pares f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que f(-x) = f(x) x  D. Se dice que es una función par Final

18. P(x, f(x)) f(x) -x x f(-x) P(-x, f(-x)) Funciones impares f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya que f(-x) = - f(x) x  D. Se dice que es una función impar Final