1 / 33

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 2b)

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 2b). Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü. Secant Metod u. Newton- Raphson yaklaşım metod una benzer. Analitik olarak türevin hesaplanmasına ihtiyaç duymadığı için farklıdır, bu büyük bir avantaj sağlar.

kalei
Download Presentation

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 2b)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ(Bölüm 2b) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

  2. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü

  3. Secant Metodu • Newton-Raphsonyaklaşım metoduna benzer. • Analitik olarak türevin hesaplanmasına ihtiyaç duymadığı için farklıdır, bu büyük bir avantaj sağlar. F(xi) = [F(xi) - F(xi-1)]/(xi – xi-1) • Dezavantajı, bu ilk iki tahminin birinin yerine gerekmesidir.

  4. Newton-Raphsonve Secant Metodunun Grafiksel Enterpolasyonu

  5. Örnek: Secant Metodu • Yüksekliği h, boru çapı D ve kuleye bağlı düşey aşağıya doğru akan ve sonrasında yatay olarak arzu edilen dağıtım noktasına ulaştırılan L uzunluğundaki boru içerisinden su geçmektedir. Bu sistemde akış debisi olan Q için aşağıdaki denklem verilmektedir. Secant yöntemini kullanarak köklerini bulunuz.

  6. Matlab Programı

  7. Secant Metodu İçin Sonuçlar

  8. Köklerin Çeşitliliği ve Newton-Tabanlı Metotlar • Bazı durumlarda, bir kök birden fazla kez kök rolünü yerine getirebilmektedir. Örneğin denklemde F(x) = x3 - x2 - x + 1= (x + 1)(x - 1)2 = 0 üç kök vardır, öylekix = -1, vex = 1 ile ikisinin katı • l’Hospital kuralı kullanılarak, Newton-Raphsonmetodudeğişebilmektedir. xi+1 = xi - F(xi)/F(xi) Veya, ikinci türevi de sıfır ise l'Hospital‘ kuralı aşağıdaki denklemi elde etmek için bir kez daha uygulanabilir. xi+1 = xi - F(xi)/F(xi)

  9. Köklerin ve Newton-Tabanlı Metotların Çeşitliliği

  10. Örnek E2.4.1 Problem: Newton-Raphsonmetodunu polinom denklemine uygulayınız. F(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3 = 0 Çözüm: İlk önceverilenfonksiyondabirdeğişiklikolmadan Newton-Raphsonmetodunuuygularız. Metottagösterilenx0 = 0, 0.5, 0.9, ve1.5 başlangıçdeğerlerininhiçbiriiçinbirnoktadabirleşmez. Bu olaydakiiterasyonlar da 0.2504306 ve0.4258722 arasındasalınımyapmaktadır. Fakateğeraşağıdakiyerdeğiştirmeyiyaparsak U(x) = F(x) ve U(x) = F(x) ve aynı metodu uygularsak xi+1 = xi - U(xi)/U(xi) Metot , 24iterasyonda kök olan x=.9999999 'e 1.0E-07'ye bağlı bir hata ile yakınsar ve x=0.0 değeri ile başlar.

  11. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümleri • Önceki metotların N değişken ile N denklemli sisteme genişletilmesi • Tartışmamız doğrusal olmayan denklemlerin aşağıdaki sistemler ile çözümüyle sınırlı kalacaktır: F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 • Örneğn, x2 + y2 - 2 = 0 -exp(-x) + y2 - 1 = 0

  12. Jacobi İterasyon Metodu • Jacobi metodu, denklem sistemlerinin bir sabit nokta iterasyon metoduna genişlemesidir. • DenklemlerinF(x,y) = 0 G(x,y) = 0 x = f(x,y) y = g(x,y) dönüştürülmesi gerekmektedir . Gerçek iterasyon bir denklem ile bir değişkenin durumuna benzer xi+1 = f(xi,yi) yi+1 = g(xi,yi)

  13. Jacobi İterasyon Metodu • Yakınsama kriteri-(xr, yr)kökünün komşuluğu

  14. Örnek E2.5.1a Problem: Jacobi İterasyonMetodunukullanarakaşağıdakidenklemsistemleriniçözünüz. x - 5 + exp(-xy) = 0 y - 1 + exp(-0.5x)cos(xy) = 0 Çözüm: İlk olarak formdaki denklemleri yeniden yazınız x = f(x, y), y = g(x,y) x = 5 - exp(-xy) y = 1 - exp(-0.5x)cos(xy) İlk tahmin olan x0 = 0, y0 = 0ile başlarız ve 1.e-07'ye bağlı bir hata ile Jacobi metodunu uygularız. Sonuçlar, Jacobiiterasyon yaklaşımının 20 iterasyonda kök x=4.9926, y=0.98372e yakınsadığını gösterenTablo2.5.1 de gösterilmektedir. Not: x ve y'deki mutlak hata, durdurma kriteri olarak kullanılır. ERROR = (errorx2 + errory2)1/2 < errbound.

  15. Jacobi Metodu için MATLAB Programı %Jacobi Iteration Method x0=0.0; y0=0.0 E=1.0E-4; % %---writing out headers to the file 'jacobimethod.dat' % fid=fopen('jacobi.dat','w'); fprintf(fid,'Roots of Equations x-5+exp(-xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Roots of Equations y-1+exp(-0.5x)cos(xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Using Jacobi Method \n') fprintf(fid,'iter x y ErrorXErrorY \n'); fprintf(fid,'------------------------------------------\n'); % %---entering the loop to determine the root %

  16. Jacobi Metodu için MATLAB Programı(devam) for i=1:100 x1=5-exp(-x0*y0); y1=1-exp(-0.5*x0)*cos(x0*y0); errorx=abs(x1-x0); errory=abs(y1-y0); %---writing out results to the file 'jacobi method.dat' % fprintf(fid,'%4.1f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n',i,x1,y1,errorx,errory); % if abs(x1-x0)<E&abs(y1-y0)<E break; end x0=x1; y0=y1; end fclose(fid) disp('Roots approximation=') x1,y1

  17. Jacobi Metodu İçin Çözüm

  18. Gauss-Seidel İterasyon Metodu • Jacobi iterasyon metoduna benzer. • Hesaplamalar için güncelleştirilmiş x ve y değerlerini (yani yaklaşık kökleri) kullanması açısından farklılaşır

  19. Newton Metodu (I) • İki doğrusal olmayan denklem içersin; F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 • Taylor serisi genişlemesi bir fonksiyonolan F(x, y) için burada ( )xve ( )xx,x yoluylabirinci ve ikinci kısmi türevleri göstermektedir, ve ( )y , ( )yyve ( )xy için de benzer şekildedir.

  20. Newton Metodu (II) • Sağdaki alandaki ilk üç terimi içermektedir • Alanları doldurduktan sonra x ve y için bu denklemler çözülür Burada J Jacobian’dır ve şu şekilde tanımlanırJ = (FxGy - GxFy)

  21. Newton Metodu (III) • Sadece iki terimi tutarız ve böylece denklemleri basitleştiririz,

  22. UnderrelaxationveOverrelaxation Tekniği • Köklerin yeni tahmininde 'güven' ifade edilir. • Underrelaxation0 < < 1 • Overrelaxation- 1 < < 2 • Newton metodu şöyle uygulanabilir;

  23. Durum Çalışması: C2.2: İki Çemberin Kesişimi Çeşitli mühendislik uygulamalarında, Lazer DopplerAnamometresi(LDA) kullanılarak sıvı hız ölçümleri yapılır. Bu, birbirini kesen yarıçapları verilen iki çemberin merkezi konum koordinatlarını belirlemek için gereklidir. Bu durumda genelliği kaybetmeden, biri çemberin merkezindeki koordinat sisteminin orjinine koyulabilir, bunun sonucunda denklemler; (xc,yc) ikinci çemberin merkezinin koordinatlarıdır. Örneğinxc =1, yc =1, r1=1, r2=1, bu iki çemberin kesişim noktalarını bulabilirsiniz.

  24. Durum Çalışması: C2.2: İki Çemberin Kesişimi(Devam) Çözüm: İkidenklemiçintüretilmiş Newton-Raphsoniterasyonmetodu, yukarıdaverilendenkleminköklerinikolaylıklabulmadakullanılabilir. Kısmi türevler Fx = 2x ; Fy = 2y ; Gx = 2(x-1) ; Gy = 2(y-1) Ve Jacobian şu şekilde verilir: J = (FxGy - GxFy) ( )xx'egörekısmitüreviifadeederve y için de aynıdır. Yukarıdakidenklemlerin tam kökleridenklemin (1,0)ve (0,1) kontrolüilebulunabilir. İlk kökiçinbirbaşlangıçtahmini x=0.5 , y=0.1dir veikincikökiçin x=0.1, y=0.5'dir. Köklerşuşekildebulunmuştur: (i) xr = 1.000013, yr =-1.310190e-05; (ii) xr = -1.310190e-05, yr = 1.000013

  25. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi bir nesnenin sönümlü salınımı Newton'un ikinci yasası tarafından yönetilir. Şekil C.2.3a sönümlü kütle-yay sistemi (kütle) (ivme) = (cisme etki eden net kuvvet) Bu problem içindenklemşuşekildeyazılabilir;  m a = - cv - kx mkütle (kg olarak), abirhızlanma, c yay sabitisönümkatsayısı (kg/s), k(kg/s) yaylanmakatsayısıvex birdengekonumundanyerdeğiştirmemesafesidir. Yukarıdakidenklemşuşekilde de yazılabilir: x = x0 ; v = 0. at t =0.

  26. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Bu sorununanalitikçözümübununbirsalınımhareketiolduğugerçeğinibilerekbulunabilirvebuviskozbirsıvıilesönümlüdür, böyleceyer değiştirme uzunbirsüreiçinsıfıragitmelidir, örneğin t ninsonsuza gitmesi gibi. Formunbirçözümü x =x0exp(-bt) [ ACos(t) + BSin(t) ] Başlangıçkoşulları ile yetinmek yerineşunueldeetmeliyizA = 1 ; B = b/ Önerilen çözüm, Cos(t) veSin(t) ‘in sıfıra doğru katsayılarının eşitlenmesi diferansiyeldenklemiçinönerilenyedeklemeçözümüdür (diferansiyeleşitlemebirsüreiçinsıfırolmalıdır) iki bilinmeyen için aşağıdaki ilişki verilir; b = c/(2m) ;  = [ (k/m) - (c2/4m2)]1/2 Anlamlıbirçözümiçinşuolmalıdır c2 < 4mk c= 100 kg/s, k = 10,000 kg/s2, ve m=50 kg verilmiştir. Nesneninsalınımının %10'dan azolmasıdurumundabu ilk yerdeğiştirmeolur ve sonra zamanı belirleyin. Nesnenindengenoktasınıgeçmesidurumundailkizamanıbelirleyin.x=0. cvek'nınyukarıdakideğerlerinigözönünealaraknesne ilk defat=0.20 saniyedeikensıfırpintigeçenmyibelirleyin

  27. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Çözüm(i): Önce b ve parametrelerini hesaplarız : b =1. sec-1 ;  =14.11 sec-1 Problem (i) yi çözmek için herhangi bir sayısal metot kullanmak gerekli değildir. Ancakbunungeneldavranışınıeldeetmekiçinzamanınbirfonksiyonuolarakbufonksiyonuçizeriz. Şekil C2.3b nesneleringenlikbozulmasıileperiyodikbirşekildesalınımınıgösterir. Alan bilgileri şu şekildedir: Sin(t) = 0. veya Cos(t) = 1 Fonkisyonunyerelbirmaksimumveminimumuvardır. Böylece; 0.1 = exp(-bt) [1.0 +0.0] ilk kısım için cevap, t = 2.3saniye olarak bulunur.

  28. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Çözüm(ii): Bölüm(ii) şu çözümü gerektirir; 0 = exp(-bt) [ Cos(t) + c/(2m)Sin(t) ] exp(-bt) hiçbir zaman sıfır olmadığında, şu denklem ile iki bölüme ayırırız; F(t) =Cos(t) + c/(2m)Sin(t) ] = 0. Parametrelerinverilendeğerleriileve alt veüstdeğerleriolantlower = 0., tupper=0.2ileBisection metodukullanılır, Bölüm(ii)’nin cevabını aşağıdaki şekilde buluruz; t = 0.11636 seconds Bu problem ayrıca Newton-Raphson metodu ile de çözülebilir.

  29. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı)

  30. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı) Bölüm (iii) Çözümü: Bu durumdabağımlıdeğişkenzamandeğil, kütleolanm'dir. Bu nedenleşekillerdegörüldüğügibibağımsızdeğişken m fonksiyonunuçizeriz.İlk şekil 0.5 kg aralığındaki fonksiyonu tarama ile oluşturulur.Daha önce belirtildiği gibi bazı analitik analizleri kullanmadan ve bazı mühendislik yargılarını kullanmadan bu denklemin yaklaşık köklerinin ne olacağını tahmin etmek zordur. Bu problem sabit bir süre için iyi bir örnektir, bu durumda, sadece bir kütle, m olduğunda t=0.2 s olduğu görülmektedir. Grafiklerden bunun durum olmadığı görülmektedir. Grafikdikatliceincelendiğindeşuaralıktakökleriin olduğugörülmektedir: (0.5, 1.0) ; (1.5, 2.0) ; (2.5, 3.0) ; (5.5, 6.0) ; (16.5, 17.0) ; (153.5, 154) Bununlabirlikte ilk şekildenbütünbunoktalarıbulmakzordur. Bununiçin, grafiğin bukısmıikincişekildegenişletilirveyenidençizilir. Bu fonksiyoniçinm<0.5 doğrultusundatablodakideğerlerirdelenir. Bu yüzden , bölüm (iii)ünuygunbiraçıklaması için çözüm aralığını belirtmek gerekir. Örneğin şu şekilde olabilir; “Nesne, dengenoktasıolan(x=0) dant=0.2 saniyedegeçergibi(10,20) aralığındam'ninmuhtemeldeğerlerinibelirleyin..” Bu problemiçözmekiçinaşağıveyukarı 10 ve 20 sınırıile Bisection metodunuuygularız. Bu aralıktakikökler; 1.E-04’e bağlı bir hata ile m = 16.861 kg

  31. Durum Çalışması C2.3: Nesnenin Sönümlü Salınımı(devamı)

  32. Bölüm 2b Sonu

  33. Referanslar Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

More Related