Corpuri Rotunde

1. Corpuri Rotunde Grupa 6

2. Cilindrul este corpul obţinut prin rotirea completă a unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui. CILINDRUL CIRCULAR DREPT

3. Cilindru obţinut prin rotirea dreptunghiului AA’O’O în jurul lui OO’ Elementele cilindrului: -două baze, care sunt cercuri congruente situate în plane paralele. Lungimea razei cercului de bază se numeşte raza cilindrului; - înălţimea , este distanţa dintre baze ( în figura de mai sus înălţimea este OO’ sau orice segment paralel cu OO’ cuprins între baze); -generatoarea, care este reprezentată prin orice segment care uneşte două puncte ale cercurilor de bază şi este perpendicular pe baze dar şi lungimea acestuia ( în figura de mai sus generatoarele notate sunt AA’ şi BB’); -axa cilindrului, este dreapta care uneşte centrele bazelor (OO’);- secţiunea axială, este dreptunghiul care se obţine intersectând cilindrul cu un plan ce conţine axa cilindrului (în figură avem reprezentată secţiunea AA’B’B). Secţionând cilindrul cu un plan care este paralel cu bazele se obţine un cerc congruent cu bazele cilindrului. Înălţime şi generatoarea cilindrului circular drept sunt egale, deci h=g. Formule de calcul: Al=2prg At=Al+2Ab=2prg+2pr2=2pr(r+g)

4. Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui cilindru circular drept este un dreptunghi care are lungimea egală cu lungimea cercului de bază a cilindrului, 2pr, şi înălţimea egală cu înălţimea (generatoarea) cilindrului, h. Dându-se un o coală dreptunghiulară, prin înfăşurare se pot obţine doi cilindri diferiţi care au aceeaşi arie laterală dar volume diferite; cilindrul care are volumul mai mare este cel care înălţimea mai mică. CONUL CIRCULAR DREPT Conul este corpul obţinut prin rotirea completă a unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catetele lui.

5. Con obţinut prin rotirea triunghiului VAO în jurul catetei VO Elementele conului: -o bază, care este un cerc. Lungimea razei cercului de bază se numeşte raza conului; - vârful, este punctul V din figura de mai sus;- înălţimea , este distanţa de la vîrf la planul bazei ( în figura de mai sus înălţimea este VO); -generatoarea, care este reprezentată prin orice segment care uneşte vârful cu un punct al cercului de bază dar şi lungimea acestuia ( în figura de mai sus generatoarele notate sunt VA şi VB); -axa conului, este dreapta care uneşte centrul bazei cu vârful (VO);- secţiunea axială, este triunghiul isoscel care se obţine intersectând conul cu un plan ce conţine axa conului (în figură avem reprezentată secţiunea VAB). Secţionând conul cu un plan care este paralel cu baza se obţine un cerc.. Înălţime, generatoarea şi raza conului circular drept sunt laturi ale unui triunghi dreptunghic. deci h2+r2=g2. Formule de calcul: Al=prg At=Al+Ab=prg+pr2=pr(r+g)

6. , , Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui con circular drept este un sector de disc care are aria egală cu aria laterală a conului şi raza egală cu generatoarea conului. Măsura unghiului la centru al acestui sector se poate calcula cu formula: Secţionând un con cu un plan paralel cu baza se obţine un con mic asemenea cu conul dat. Dacă r1, h1, g1 şi r2, h2, g2 reprezintă raza, înălţimea şi generatoarea unor conuri asemenea, atunci: k se numeşte raportul de asemănare al celor două conuri. Mai mult: unde A1, A2 reprezintă ariile (de acelaşi tip ale) celor două conuri, iar V1 şi V2 sunt volumele lor.

7. TRUNCHIUL DE CON CIRCULAR DREPT Trunchiul de con este corpul obţinut prin rotirea completă a unui trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze ( sau prin rotirea unui trapez isoscel în jurul dreptei care uneşte mijloacele bazelor). Trunchi de con obţinut prin rotirea triunghiului trapezului AOO’A’ în lui OO’ Elementele trunchiului: -două baze, care sunt cercuri cu raze diferite situate în plane paralele. Lungimile razelor celor două baze sunt razele trunchiului; - înălţimea , este distanţa dintre planele bazelor( în figura de mai sus înălţimea este OO’ dar şi orice segment paralel cu OO’ având extremităţile situate în cele două baze); -axa trunchiului, este dreapta care uneşte centrele bazelor (OO’);- secţiunea axială, este trapezul isoscel care se obţine intersectând trunchiul cu un plan ce conţine axa (în figură avem reprezentată secţiunea ABB’A’); -generatoarea, care este reprezentată prin orice segment care uneşte două puncte omoloage ale cercurilor celor două baze dar şi lungimea acestuia. Două puncte le numim omoloage dacă dreaptă determinată de ele intersectează axa trunchiului ( în figura de mai sus generatoarele notate sunt AA’ şi BB’);

8. Secţionând trunchiul cu un plan care este paralel cu baza se obţine un cerc.. Ducând prin B’ o paralelă la înălţimea trunchiului obţinem un triunghi dreptunghic cu laturile de lungime R-r, h şi g; conform teoremei lui Pitagora avem h2+(R-r)2=g2. Formule de calcul: Al=pg(R+r) At=Al+Ab+AB=pg(R+r)+pr2+pR2 Trunchiul de con se poate obţine şi prin secţionarea unui con cu un pklan paralel cu baza şi eliminarea conului mic care rezultă. Acest lucru permite stabilirea unor relaţii între elementele conului în fucţie de elementele trunchiului. Am văzut că cele două conuri obţinute sunt asemenea, şi din relaţia unde numărătorii sunt elemente ale conului mic, şi numitorii reprezintă elemente ale conului mare, înlocuind elementele conului mic în funcţie de elementele conului mare şi ale trunchiului, obţinem

9. formulă care leagă direct elementele conului mare de cele ale trunchiului. Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui trunchi de con circular drept este un sector de coroană circulară care are aria egală cu aria laterală a trunchiului. Măsura unghiului la centru al acestui sector se poate calcula cu formula: unde R şi G sunt raza şi generatoarea conului din care provine trunchiul. Volumul trunchiului de con poate fi calculat şi ca diferenţa volumelor celor două conuri. Vtrunchi=Vcon_mare-Vcon_mic

10. SFERA Sfera este corpul care se obţine prin rotirea completă a unui cerc în jurul unui diametru. Elementele sferei: -centrul sferei (O), -raza sferei este segmentul care uneşte centrul sferei cu un punct oarecare al sferei dar şi lungimea acestuia; -cerc mare al sferei este orice cerc care are centrul în centrul sferei şi raza egală cu raza sferei. Secţionând sfera cu un plan (care o intersectează) se obţine un cerc; între raza sferei, R, raza cercului de secţiune, r şi distanţa de la centrul sferei la planul de secţiune, D, are loc relaţia : D2=R2-r2, din care putem afla una din cele trei valori atunci când cunoaştem două din ele. Din relaţia de mai sus, deducem că planul intersectează sfera dacă si numai dacă D<R. În cazul în care D=R, planul este tangent sferei. Cele două porţiuni de sferă determinate de un plan pe o sferă se numesc calote sferice. În figura de mai sus avem reprezentate două calote: una este verde şi cealaltă este galbenă (EMF). Aria unei calote sferice este pRh, unde R este raza sferei iar h este înălţimea calotei (pentru calota verde, h este distanţa de la N la CD) Asferă=4pR2.

11. Secţionând o sferă cu două plane paralele se obţine o zonă sferică (porţiunea galbenă ABCD din figura de mai sus). Aria unei zone se determină cu aceeaşi formulă ca pentru calotă, h reprezentând distanţa dintre cele două plane. Considerând sfera plină (bila sferică) putem defini volumul ocupat de ea prin formula