Límites y continuidad

1. Límites y continuidad Cálculo 1

2. Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo.

3. Ejemplo 1 Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1 segundo del segundo 1 al segundo 2? La caída esta gobernada por la siguiente ecuación y = 5.1 t2 m a) los primeros 2 segundos: b) del segundo 1 al 2:

4. Ejemplo 2 Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2. La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y obtenemos la siguiente tabla Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.

5. y y = f(x) Q(x2,f(x2)) secante Dy P(x1,f(x1)) Dx x x1 x2 Rectas secantes La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2] es

6. y y 2 2 1 y = x + 1 1 –1 –1 0 1 x 0 1 x Límites de funciones Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x 1

7. x 1 Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

8. y y y 2 2 2 1 1 1 –1 –1 –1 0 0 0 1 x 1 x 1 x Definición informal de límite Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe

9. Crece demasiado y La función salta Oscila demasiado x Funciones sin límite en un punto

10. Ejercicio Encontrar y y = g(x) 1 1 2 3 x

11. Tarea #9 Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6g(x)? Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t0 = 0 por arriba y por abajo. Luego estime limt0G(t).

12. Reglas para calcular límites Teorema #1 Las reglas siguientes son válidas si limxcf(x) = L y limxcg(x) = M (L y M son números reales) 1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M 2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M 3. Regla del producto: limxcf(x) ∙g(x) = L∙M 4. Regla del producto: limxckf(x) = kL por una constante 5. Regla del cociente: limxcf(x) /g(x) = L/ M, M 0 6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

13. Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxcP(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxcP(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

14. Eliminación de denominador cero Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

15. Teorema del emparedado supóngase que g(x)  f(x)  h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que Entonces y h f L g x c

16. ejemplos

17. Uso del teorema del emparedado Demostración del límite de sen(q)/q cuando q tiende a 0 De la figura se ve que: sen qq tan q Dividiendo entre sen q : 1 q /sen q tan q / sen q = 1/cos q Invirtiendo cada término 1  sen q / q cos q Tomando el límite limq0 1  limq0 sen q / q limq0 cos q pero limq0 cos q = 1 T 1 P tan q 1 arco de longitud q sen q q O cos q Q A(1, 0) Por el teorema del emparedado limq0 sen q/q = 1

18. Límites de razones de cambio En cálculo aparecen límites de la forma: Ejemplo: Sea f(x) = x2 encuentre el límite de la razón de cambio en x = –2 Sustituyendo valores

19. Tarea #10 Evalúe el límite de la razón de cambio para: f(x) = 3x – 4, x = 2 f(x) = 1/x , x = –2

20. y y = 2x – 1 Cota superior 9 7 5 Para controlar esto Cota inferior 3 4 5 x Restringe esto Valores objetivo Control de una función lineal ¿Qué tan cerca de x0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar seguros de que el resultado de y = 2x – 1 a menos de 2 unidades de y = 7? Para que valores de x es | y – 7 | < 2 | y – 7 | = | (2x – 1) – 7 | = | 2x – 8 | o | 2x – 8 | < 2 Resolviendo 3 < x < 5 o –1 < x – 4 < 1

21. ejemplo ¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho? Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es V = p62h = 36ph ¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)? r = 6 cm Para que valores de h se satisface | V – 1000 | = | 36ph – 1000 |  10 | 36ph – 1000 |  10 –10  36ph – 1000  10 990  36ph 1010 990 /36ph 1010 /36p 8.8 h 8.9 8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm h

22. y = f(x) y = f(x) L +1/10 L +1/10 L L L–1/10 L–1/10 O O x0 x0 x0+d1/10 x0+d1/10 hacer que | f (x) – L| < e = 1/10 Respuesta: | x – x0| < d1/10 (un número) y = f(x) y = f(x) L +1/100 L +1/100 L L L–1/100 L–1/100 O O x0 x0 x0+d1/100 x0+d1/100 hacer que | f (x) – L| < e = 1/100 Respuesta: | x – x0| < d1/100 Proceso del cálculo de un límite

23. y = f(x) y = f(x) L +1/1000 L +1/1000 L L L–1/1000 L–1/1000 O O x0 x0+d1/1000 x0 x0+d1/1000 hacer que | f (x) – L| < e = 1/1000 Respuesta: | x – x0| < d1/1000 y = f(x) y = f(x) L +1/1000000 L +1/1000000 L L L–1/1000000 L–1/1000000 O O x0 x0 x0+d1/1000000 x0+d1/1000000 hacer que | f (x) – L| < e = 1/1000 Respuesta: | x – x0| < d1/1000000

24. Definición de límite Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 | < d | f(x) – L | < e

25. Como encontrar una d Cómo encontrar algebraicamente una d para f, L, x0, y e > 0 dados Para hallar una d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0| < d | f(x) –L | < e Deben seguirse dos pasos Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < e para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0. Paso 2. Hallar un valor d > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – d, x0 + d) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < e se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por d.

26. Tarea #11 Hallar una d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0| < d | f(x) – L | < e Dados f(x) = 2x – 2, L = – 6, x0 = – 2, e = 0.02 f(x) = 19 – x , L = 3, x0 = 10, e = 1 Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < e para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0. Paso 2. Hallar un valor d > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – d, x0 + d) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < e se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por d.

27. Demostración de teoremas Regla para el límite de una suma Dado que lim xcf(x) = L y limxcg(x) = M, demostrar que lim xc (f(x) + g(x)) = L + M Sea e > 0, se quiere hallar un número positivo d tal que para toda x 0 < | x – x0| < d  | f(x) + g(x) – (L + M)| < e Reagrupando | f(x) + g(x) – (L + M)| = | (f(x) – L) + (g(x) – M)| ≤ | f(x) – L | + |g(x) – M | Ya que limxcf(x) = L, Existe d1 > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0| < d1 | f(x) – L | < e/2 Análogamente 0 < | x – x0| < d2 | g(x) – M| < e/2 Sea d= min(d1, d2) por lo tanto | f(x) + g(x) – (L + M)| < e/2 + e/2 =e Esto muestra que limxc (f(x) + g(x)) = L + M

28. Límites por un lado Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

29. Límites por un lado y bilaterales Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L

30. Ejemplo y y = f (x) 2 1 x 0 1 2 3 4

31. Tarea #12 ¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos? g) h) i) j) k) l) a) b) c) d) e) f)

32. Límites infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

33. Ejemplos y y = 1/x x

34. y y = 1/(x – 1) x

35. y x

36. y x

37. Límites de funciones racionales

38. Definición formal de límite lateral Límite por la derecha Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x0, y escribimos Si para cada número e > 0 existe un número d > 0 tal que para toda x x0 < x < x0 + d | f(x) – L | < e Límite por la izquierda Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x0, y escribimos Si para cada número e > 0 existe un número d > 0 tal que para toda x x0–d < x < x0 | f(x) – L | < e

39. Definición formal de límites infinitos Límites infinitos Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x0, y escribimos Si para cualquier número real positivo B existe un número d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 |< d f(x) > B Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x0, y escribimos Si para cualquier número real negativo –B existe un número d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 |< d f(x) < –B

40. Continuidad Continuidad en un punto Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

41. Ejemplos y y = f(x) y = f(x) 1 1 x 0 x 0 y y 2 y = f(x) 1 y = f(x) 1 x x 0

43. Tipos de discontinuidades Discontinuidad escalonada Discontinuidad oscilante Discontinuidad infinita Discontinuidad removible

44. Continuidad en los extremos Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si y = f(x) a c b

45. Criterio de continuidad Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(c) existe (c está en el dominio de f) 2. Limxcf(x) existe (f tiene un límite cuando xc) 3. Limxcf(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

46. Ejemplo y y = f (x) 2 Continua 1 x 0 1 2 3 4 Discontinua

47. Reglas de continuidad Teorema 6 Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en: 1. f + g y f – g 2. f g 3. kf, donde k es cualquier número 4. f/g (si g(c) ≠ 0) 5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

48. Continuidad de polinomios Teorema 7 Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Ejemplo: Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2. La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

49. Continuidad de la composición Teorema 8 Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c. g ° f Continua en c g f g(f (c)) Continua en c f (c) Continua en f(c)

50. Ejemplos