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Paulo Borba e Augusto Sampaio Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco

Especificação Usando Conjuntos. Paulo Borba e Augusto Sampaio Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco. Teoria de Conjuntos. Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes Existem dois tipos de representação:

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  1. Especificação Usando Conjuntos Paulo Borba e Augusto Sampaio Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco

  2. Teoria de Conjuntos • Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes • Existem dois tipos de representação: Por extensoCompreensão {e1, ..., en} {x:S | P(x) . t(x)} • Exemplos {2, 3, 5, 7}{x:IN | x é primo  x<10 . x} {0, 2, 4, ...} {x:IN | true . 2 * x} {0, 2, 4, 6} {x:IN | x<4 . 2 * x}

  3. Teoria de Conjuntos • Abreviações {x:S . t(x)} = {x:S | true . t(x)} {x:S | P(x)} = {x:S | P(x) . x} • Portanto, {x:IN . 2 * x} = {x:IN | true . 2 * x} {x:IN | x é primo  x<10} = {x:IN | x é primo  x<10. x}

  4. Uma Operação Básica: Pertinência • x S • x  S = (x S) • {x:S | P(x) . T(x)} = {x | x S  P(x) . T(x)}

  5. Axiomas Fundamentais • Axioma 1. Uma expressão pertence a um conjunto se e somente se tal expressão é igual a um dos elementos deste conjunto: x  {e1, ..., en}  (x=e1  ...  x=en) • Axioma 2. Extensionalidade (S=T)  (x . x  S  x  T)  (x . x  S  x  T)  (x . x  T  x  S)

  6. Versões do Axioma da Extensionalidade • Axioma 3. x{y:S | P(y)}  (xS  P(x)) • Axioma 4. x{y:S . t(y)}  (y:S . x=t(y))

  7. Conjunto Vazio: {} • Axioma 5.  x . x {} ou equivalentemente: x . ( x {}) ou ainda: x . ( x {})

  8. Subconjuntos:  Definição. (S T)  (x .x S  x T) Teoremas: (S = T)  (S T T S) (S  T)  (S T  (S= T)) (S  T)  (S T) S . {}  S S . S  S

  9. Conjunto das Partes: |P Definição. (T  |P S)  (T S) Teoremas: S . {}  |P S S . S  |P S

  10. Produto Cartesiano:  Definição. p  (S  T)  y, z . p = (y, z)  y  S  z  T Usando a notação de compreensão, temos: (S  T) = {y : S; z : T . (y, z)}

  11. Alguns operadores auxiliares Funções de projeção sobre pares: first (y, z) = y second (y, z) = z Cardinalidade de conjuntos finitos: # S

  12. União:  Notação Definição [T] Declaração predicado [X]  : |P X  |P X -> |P X  S,T: |P X . S  T = {x : X . x S  x  T}

  13. Algumas propriedades da União • Comutatividade S  T = T  S • Associatividade S  (T R ) = (S  T) R • Idempotência S  S = S • Elemento neutro (identidade) S  {} = S Como prová-las?

  14. Interseção:  Definição Propriedades comutatividade associatividade ... [X]  : |P X  |P X -> |P X  S,T: |P X . S  T = {x : X . x S  x  T}

  15. Diferença: \ Definição Propriedades (S \ T) \ R = S \ (T  Q) S \ S = {} S \ {} = S ... [X] \ : |P X  |P X -> |P X  S,T: |P X . S \ T = {x : X . x S  x  T}

  16. União distribuída:  Generalização para conjuntos de conjuntos Exemplo:  {{1,2,3},{3,4},{3,5}}= {1,2,3,4,5} Definição [X]    : |P (|P X) -> |P X  SS: |P (|P X) .  SS = {x:X | S:SS . x  S}

  17. Interseção distribuída:  Generalização para conjuntos de conjuntos Exemplo:  {{1,2,3},{3,4},{3,5}}= {3} Definição [X]    : |P (|P X) -> |P X  SS: |P (|P X) .  SS = {x:X | S:SS . x  S}

  18. Exercício • Especifique um cadastro de pessoas, com as seguintes operações: • inclui (inclusão de uma nova pessoa) • remove (remoção de uma pessoa existente) • consulta (retorna mensagem ausente ou presente) • Restrição • Não pode haver mais do que uma quantidade de pessoas especificada pela constante limite (com valor 100)

  19. Notação • Pode-se definir um novo tipo em Z (given set) simplesmente introduzindo-se o seu nome entre colchetes (abstraindo a representação) Exemplos: [Pessoa] [Matricula, CPF] Elementos destes tipos admitem apenas igualdade Pode-se fazer analogia com uma classe vazia em Java: Exemplo: class Pessoa { }

  20. Notação • Tipos enumerados (free types) podem ser introduzidos de forma semelhante aos datatypes em programação funcional Exemplo: Mesagem ::= ausente | presente • Constantes são introduzidas da forma usual Exemplo: limite == 100

  21. Especificação em Z [Pessoa] Mensagem ::= ausente | presente Limite == 100 Estado init Estado’ S: |P Pessoa s’ = {} # s  limite inclui consulta D Estado p? : Pessoa Estado p? : Pessoa r! : Mensagem # s < limite p?  s s’ = s  {p?} (p?  s  m! = presente) (p?  s  m! = ausente) Remove ...

  22. Exercício • Na aula anterior, vimos a especificação de conta com operações: credito, debito e get_saldo. • Especifique um banco como uma coleção de contas, com as operações: cadastro, remove, credito, debito e get_saldo. • Uma restrição e´que as contas devem ter números distintos

  23. Notação • Um esquema pode ser usado como um tipo, sendo seus componentes referenciados da mesma forma que atributos em uma linguagem OO. Considere o esquema: Usando Conta como tipo: c : Conta c.num ... c.saldo ... Conta num: Numero saldo: |N

  24. Bibliografia • Seção 4.1 do livro • The Z Notation, A Reference Manual, J. M. Spivey, Prentice Hall • (Mais detalhes) Capítulo 5 do livro • Using Standard Z: Specification, Refinement and Proof, J. Woodcock & J. Davies, Prentice Hall

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