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Especificação Usando Conjuntos. Paulo Borba e Augusto Sampaio Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco. Teoria de Conjuntos. Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes Existem dois tipos de representação:
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Especificação Usando Conjuntos Paulo Borba e Augusto Sampaio Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco
Teoria de Conjuntos • Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes • Existem dois tipos de representação: Por extensoCompreensão {e1, ..., en} {x:S | P(x) . t(x)} • Exemplos {2, 3, 5, 7}{x:IN | x é primo x<10 . x} {0, 2, 4, ...} {x:IN | true . 2 * x} {0, 2, 4, 6} {x:IN | x<4 . 2 * x}
Teoria de Conjuntos • Abreviações {x:S . t(x)} = {x:S | true . t(x)} {x:S | P(x)} = {x:S | P(x) . x} • Portanto, {x:IN . 2 * x} = {x:IN | true . 2 * x} {x:IN | x é primo x<10} = {x:IN | x é primo x<10. x}
Uma Operação Básica: Pertinência • x S • x S = (x S) • {x:S | P(x) . T(x)} = {x | x S P(x) . T(x)}
Axiomas Fundamentais • Axioma 1. Uma expressão pertence a um conjunto se e somente se tal expressão é igual a um dos elementos deste conjunto: x {e1, ..., en} (x=e1 ... x=en) • Axioma 2. Extensionalidade (S=T) (x . x S x T) (x . x S x T) (x . x T x S)
Versões do Axioma da Extensionalidade • Axioma 3. x{y:S | P(y)} (xS P(x)) • Axioma 4. x{y:S . t(y)} (y:S . x=t(y))
Conjunto Vazio: {} • Axioma 5. x . x {} ou equivalentemente: x . ( x {}) ou ainda: x . ( x {})
Subconjuntos: Definição. (S T) (x .x S x T) Teoremas: (S = T) (S T T S) (S T) (S T (S= T)) (S T) (S T) S . {} S S . S S
Conjunto das Partes: |P Definição. (T |P S) (T S) Teoremas: S . {} |P S S . S |P S
Produto Cartesiano: Definição. p (S T) y, z . p = (y, z) y S z T Usando a notação de compreensão, temos: (S T) = {y : S; z : T . (y, z)}
Alguns operadores auxiliares Funções de projeção sobre pares: first (y, z) = y second (y, z) = z Cardinalidade de conjuntos finitos: # S
União: Notação Definição [T] Declaração predicado [X] : |P X |P X -> |P X S,T: |P X . S T = {x : X . x S x T}
Algumas propriedades da União • Comutatividade S T = T S • Associatividade S (T R ) = (S T) R • Idempotência S S = S • Elemento neutro (identidade) S {} = S Como prová-las?
Interseção: Definição Propriedades comutatividade associatividade ... [X] : |P X |P X -> |P X S,T: |P X . S T = {x : X . x S x T}
Diferença: \ Definição Propriedades (S \ T) \ R = S \ (T Q) S \ S = {} S \ {} = S ... [X] \ : |P X |P X -> |P X S,T: |P X . S \ T = {x : X . x S x T}
União distribuída: Generalização para conjuntos de conjuntos Exemplo: {{1,2,3},{3,4},{3,5}}= {1,2,3,4,5} Definição [X] : |P (|P X) -> |P X SS: |P (|P X) . SS = {x:X | S:SS . x S}
Interseção distribuída: Generalização para conjuntos de conjuntos Exemplo: {{1,2,3},{3,4},{3,5}}= {3} Definição [X] : |P (|P X) -> |P X SS: |P (|P X) . SS = {x:X | S:SS . x S}
Exercício • Especifique um cadastro de pessoas, com as seguintes operações: • inclui (inclusão de uma nova pessoa) • remove (remoção de uma pessoa existente) • consulta (retorna mensagem ausente ou presente) • Restrição • Não pode haver mais do que uma quantidade de pessoas especificada pela constante limite (com valor 100)
Notação • Pode-se definir um novo tipo em Z (given set) simplesmente introduzindo-se o seu nome entre colchetes (abstraindo a representação) Exemplos: [Pessoa] [Matricula, CPF] Elementos destes tipos admitem apenas igualdade Pode-se fazer analogia com uma classe vazia em Java: Exemplo: class Pessoa { }
Notação • Tipos enumerados (free types) podem ser introduzidos de forma semelhante aos datatypes em programação funcional Exemplo: Mesagem ::= ausente | presente • Constantes são introduzidas da forma usual Exemplo: limite == 100
Especificação em Z [Pessoa] Mensagem ::= ausente | presente Limite == 100 Estado init Estado’ S: |P Pessoa s’ = {} # s limite inclui consulta D Estado p? : Pessoa Estado p? : Pessoa r! : Mensagem # s < limite p? s s’ = s {p?} (p? s m! = presente) (p? s m! = ausente) Remove ...
Exercício • Na aula anterior, vimos a especificação de conta com operações: credito, debito e get_saldo. • Especifique um banco como uma coleção de contas, com as operações: cadastro, remove, credito, debito e get_saldo. • Uma restrição e´que as contas devem ter números distintos
Notação • Um esquema pode ser usado como um tipo, sendo seus componentes referenciados da mesma forma que atributos em uma linguagem OO. Considere o esquema: Usando Conta como tipo: c : Conta c.num ... c.saldo ... Conta num: Numero saldo: |N
Bibliografia • Seção 4.1 do livro • The Z Notation, A Reference Manual, J. M. Spivey, Prentice Hall • (Mais detalhes) Capítulo 5 do livro • Using Standard Z: Specification, Refinement and Proof, J. Woodcock & J. Davies, Prentice Hall