Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und M a rkus Hohen wa rter ÖMG-Tagung 25 A p ril 2014

1. Nach einem Vortrag von LuciaDelChiccaund Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25April2014 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

2. DieProblemstellung Esistallgemeinbekannt,dasswennwireinbestimmtesKapitalzur Verfu¨gunghaben, es besser ist dieses in unterschiedliche Finanzproduktezu investieren,anstatt nurin ein Einziges(die sogenannte Diversifikation).Bei einergegebenen MengevonFinanzprodukten, stellensich einige Fragen wie: Inwelche davon sollte man investieren? Wiesollte man das Kapital ambesten aufteilen? Undvor allem: Gibtes eine KombinationvonFinanzprodukten die besser ist alsalleanderen?

3. .,. Motivation .., Der Fallvon 2 Finanzprodukten l¨asst sichmit den mathematischenKenntnissen der Oberstufe vollst¨andig l¨osen .., Der allgemeineFallvonnFinanzprodukten kannimRahmen eines Projektes bzw. einerProjektarbeitbehandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators) L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

4. WirhabenzurVerfu¨gung: .,. Kapital =1 .,. A1,A2,...,AnFinanzprodukte Frage: Inwelche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren Kombinationensollen wir investieren? Gibt es “bessere”und“schlechtere” Finanzprodukte? L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

5. ZIEL einerInvestition:so vielwie m¨oglichgewinnenmit so wenig wie m¨oglichRisiko. Eine “gute” Investmentstrategieist eine mit großererwarteter Rendite undgeringemRisiko. L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

6. 2“Gr¨oßen”fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn,Trend)µentspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzproduktzueinembestimmten Zeitpunktin der Zukunfthaben wird L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

7. 2“Gr¨oßen”fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn,Trend)µentspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzproduktzueinembestimmten Zeitpunktin der Zukunfthabenwird. .,. Volatilit¨at σstellt das Risikomaß eines Finanzproduktesdar. L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

8. JedemFinanzproduktAimiti=1,...nk¨onnen wir ein Paar (σi,µi) zuordnenundineinemTrend-Volatilit¨ats-Diagrammeintragen L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

9. 5FinanzprodukteninTrend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

10. DEFINITION: .,. RisikolosesFinanzprodukt:bei demwir,unter normalenVoraussetzungen, injedemMomentdenWert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunktin der Zukunft exakt berechnen k¨onnen .,. Risikobehaftetes Finanzprodukt:bei dem wir gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen,welchen Wert es zueinembestimmten Zeitpunktin der Zukunfthaben wird L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

11. In HinsichtaufdenTrend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in manchenF¨allenbereits klar sagen, dass eine Investition ineinebestimmte Aktiegegenüber der in eineanderezubevorzugen ist. Frage: Wie sieht es abermitKombinationenvonFinanzprodukten aus? L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

12. DEFINITION: Eine Kombinationvon verschiedenenFinanzprodukten heißt Portfolio (vonFinanzprodukten). Umvon Rendite undVolatilit¨at eines Portfolios zu sprechen, brauchenwir eine zus¨atzliche Gr¨oße: Korrelation .,. Korrelation ist ein Maßfu¨rdenZusammenhangzweier Aktien, hat immer einen Wert zwischen −1und1 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

13. Notationen: A1,A2,...,An µ1,µ2,...,µn Aktien zurVerfu¨gung erwartete Renditen vonA1,A2,...,Anin einembestimmten Zeitpunktin der Zukunft Volatilit¨aten vonA1,A2,...,Anineinembestimmten Zeitpunktin der Zukunft Korrelation vonAiundAj σ1,σ2,...,σn ρij =Korr(Ai,Aj) L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

14. Sei Ydas allgemeine Portfolio KombinationvonA1,...,An Y=x1A1+x2A2+...+xnAn woxi=AnteildesKapitals,dasinAiinvestiertwird(i=1,...,n). Als Nebenbedingung giltalso: x1+x2+...+xn=1 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

15. Fu¨rYist µY =x1µ1+x2µ2+...+xnµn und L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

16. Wobefindet sich das allgemeine Portfolio Ymitden Koordinaten(σY,µY)? Betrachten wir als erstes denFallzweierAktien: L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

17. Kombinationen aus 2 Aktien Seien: A1,A2 µ1,µ2 Aktien zurVerfu¨gung erwartete Renditen vonA1,A2ineinembestimmten Zeitpunktin der Zukunft Volatilit¨aten vonA1,A2ineinembestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation vonA1undA2 (wirbetrachten den allgemeinen Fall−1<ρ12<1) Kapital zurVerfu¨gung σ1,σ2 ρ12 1 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

18. 2 Aktien inTrend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

19. Sei Ydas allgemeine Portfolio KombinationvonA1undA2 Y=x1A1+x2A2=tA1+(1−t)A2 wot= Anteil des Kapitals, das inA1investiertwird (σY,µY)= GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

20. KonvexeKurve allerPortfoliosaus A1undA2 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

21. Opportunity Set undPortfolio mit minimalerVolatilit¨at L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

22. EfficientBorder(Effizienzlinie) L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

23. Kombinationen aus 5 Aktien Seien: A1,A2,A3,A4,A5 µ1,µ2,µ3,µ4,µ5 Aktien zurVerfu¨gung erwartete Renditen vonAi,...,Anineinembestimmten Zeitpunktin der Zukunft Volatilit¨aten vonAi,...,Anin einembestimmten Zeitpunktin der Zukunft Korrelation vonAi,Ajmiti,j=1,...,5 Kapital zurVerfu¨gung σ1,σ2,σ3,σ4,σ5 ρij 1 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

24. 5 Aktien inTrend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

25. Sei Ydas allgemeine Portfolio KombinationvonAimit i=1,...,5 Y=x1A1+x2A2+x3A3+x4A4+x5A5 mitx1,...,x5Anteile von Kapital die inA1,...,A5investiert sind (σY,µY)= GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

26. Opportunity Set der Kombinationvon5 Aktien L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

27. Wo liegen die “besten”Portfolios? L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

28. Effizienzlinie undPortfolio mit minimalerVolatilit¨at der Kombinationvon5 Aktien L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz

29. Literatur: Hull, J. (2011). Risikomanagement.Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson. Schnid,F.,Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer. Sharpe, W.F., Alexander,G.J. (1990).Investments. Prentice-HallInternational Editions. Sydsaeter, K., Hammond,P. (2004). Mathematikfu¨r Wirtschaftswissenschaftler.Pearson Studium. L. Del Chicca,M. Hohenwarter, JKU,Linz