Funkcije ene neodvisne spremenljivke

1. Funkcije ene neodvisne spremenljivke Konstanta je količina,ki ne menja svoje vrednosti Spremenljivkax je količina, ki lahko zavzame katerokoli vrednost iz dane množice M, ki ji pravimo definicijsko območje spremenljivke Spremenljivka je realna, če je definirana na intervalu realnih števil, ki se imenuje definicijskiinterval spremenljivke:

2. Definicija Funkcija ene neodvisne spremenljivke je preslikava (enolična relacija) realne spremenljivke x v množico realnih števil R [a,b]:definicijski interval funkcije x: neodvisna spremenljivka Odvisna spremenljivka je vrednost,ki jo funkcija priredi neodvisni spremenljivki

3. Analitična oblika funkcije : zveza med x in y podana v obliki enačbe y=f(x) : eksplicitna oblika f(x,y)=0 : implicitna oblika x=x(t) , y=y(t) : parametrična Graf funkcije G(f) : Graffunkcije v koordinatnem sistemudoločakrivuljo !

4. Funkcija posredne spremenljivke (posredna funkcija) ali v analitični obliki y = f(u) , u = g(x) Inverzna funkcijak dani funkciji y = f(x) je funkcija,ki jo dobimo, če v njej zamenjamo mesti med neodvisno (x) in odvisno (y) spremenljivko

5. x = f(y) : inverzna funkcija Rešitev na x (eksplicitna oblika) zapišemo Velja : Krivulji (grafa) funkcije in inverzne funkcije sta simetrični na simetralo prvega in tretjega kvadranta

6. Zveznost funkcije Funkcije si predstavljamo kot krivulje v ravnini, ki so lahko pretrgane ali nepretrgane. Kadar so nepretrgane, pravimo da je funkcija zvezna, če pa je krivulja v kakšni točki prekinjena, pravimo da je funkcija nezvezna. Definicija Funkcija y = f(x) je v točki x=a zvezna,če za vsak eksistira tak,da velja za vsak

7. Kadar je točka x = a na intervalu [a,b] poljubno izbrana,pravimo,da je funkcija zvezna na intervalu [a,b] . Ničla funkcijey = f(x) je takšna vrednost neodvisne spremenljivke za katero velja Izrek Če je funkcija na intervalu [a,b] zvezna, in sta f(a) in f(b) različnih predznakov, potem obstaja na tem intervalu vsaj ena ničla.

8. Pol funkcije jetakšna točka v kateri je vrednost funkcije Funkcija je na intervalu [a,b] navzgor omejena,kadar za vsak eksistira tako realno število G, da veljaf(x)  G. G : zgornja meja Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja(M) M = infG

9. Funkcija je na intervalu [a,b] navzdol omejena,kadar za vsak eksistira tako realno število g,da velja f(x)g g : spodnja meja Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m) m = sup g Funkcija je na intervalu [a,b] omejena, če je omejena navzgor in navzdol.

10. Monotono naraščajoča funkcija Monotono padajoča funkcija Soda funkcija: f(-x) = f(x) Liha funkcijaf(-x) = - f(x) Periodična funkcija

11. LIMITA FUNKCIJE Za poljubno izbran vselej lahko najdemo poljubno mnogo zaporedij ki konvergirajo k

12. Funkcija je v točki določena,če ima v njej končno realno vrednost, sicer je funkcija v tej točki nedoločena.

13. Dana funkcija y = f(x),definirana v točki .Za poljubno zaporedje z sestavimo zaporedje Definicija Funkcija y = f(x) ima v točki limito A, če pri poljubnem zaporedju neodvisne spremenljivke konvergira pripadajoče zaporedje funkcijskih vrednosti k A :

14. Limito funkcije v točki ponavadi zapišemo Računanje limite 1. Funkcija, ki je v točki določena, ima v njej limito enako funkcijski vrednosti

15. 2. Kadar je funkcija v točki nedoločena, jo skušamo preoblikovati tako, da potem ni več nedoločena ali na kakšen drugačen način odpraviti nedoločenost in tako funkcijo prevesti na prejšnji primer. V primeru,ko je, govorimo o nepravi limiti. Funkcija ima limito v ,če je

16. Asimptota funkcije Definicija Asimptota krivulje je premica h kateri se krivulja približuje za je nikoli ne doseže Krivulja se premici asimptotično približuje Asimptota je premica : y = k.x + n Za k = 0 vodoravna asimptota