REKURZIVNE FUNKCIJE

1. REKURZIVNE FUNKCIJE student: Miloš Savić profesor: Zoran Ognjanović

2. Primitivno rekurzivne funkcije • Prilikom definisanja aritmetičkih funkcija često se javlja induktivni postupak kojimse uvodi, recimo, funkcija faktorijel pomoću funkcije množenja: • U opštem slučaju, postupak definisanja funkcije f na osnovu funkcije g je oblika:

3. Definicijaprimitivnorekurzivnihfunkcija Klasa primitivno rekurzivnih funkcija sadrži: • nula funkciju, za svako • funkciju naslednika prirodnog broja u nizu prirodnih brojeva i • funkcije projekcije • kompoziciju prethodnih funkcija, tako da ako su definisane i onda je definisana i

4. primitivnu rekurziju, tako da ako su definisane i onda je definisana i i važi: Pri tome je funkcija f definisana primitivnom rekurzijom nad h sa bazom g. • U slučaju kada je funkcija f unarna, operacija primitivne rekurzije svodi se na induktivnu definiciju i funkcija g je konstanta: • Primitivno rekurzivne funkcije su totalne.

5. Primeriprimitivnorekurzivnih f-ja • Da bi se za neku funkciju pokazalo da je primitivno rekurzivna (PR), potrebno je naći njen opis u smislu prethodne definicije, tj. pokazati da se iz inicijalnih funkcija može dobiti konačnim nizom primena operacija kompozicije i primitivne rekurzije. • Primer 1: • Konstantne funkcije za koje je za sve su PR. definišemo funkciju primitivnom rekurzijom nad projekcijom sa bazom

6. Primer 2: • Funkcija sabiranja je PR. Funkcija f je definisana primitivnom rekurzijom nad sa bazom . • Primer 3: • Funkcija prethodnik je PR.

7. Primitivno rekurzivne operacije • Nekuoperacijunazvaćemoprimitivnorekurzivnomakoprimenjenanaprimitivnorekurzivnefunkcijedajeprimitivnorekurzivnufunkciju, tj. ako se može simulirati korišćenjemkompozicije, primitivnerekurzijeiosnovnihprimitivnorekurzivnihfunkcija. Primitivnorekurzivneoperacijeomogućiće nešto jednostavnijedefinisanjeprimitivnorekurzivnihfunkcija. • EKSPLICITNA TRANSFORMACIJA • Neka je k-arna funkcija i neka su l-arne funkcije od kojih je svaka ili projekcija ili konstantna funkcija. Funkcija f definisana sa: je dobijena iz g eksplicitnom transformacijom, odnosno dupliranjem i/ili permutovanjem argumenata i zamenom argumenata konstantama.

8. Eksplicitna transformacija predstavlja jednu vrstu kompozicije, pa važi: • Teorema: Ako je funkcija g primitivnorekurzivna, primitivnorekurzivnesu isvefunkcijedobijeneiznjeeksplicitnomtransformacijom. • Primer 1: Neka je funkcijaprimitivnorekurzivna. Tada je ifunkcijaprimitivnorekurzivnajer je dobijenaeksplicitnomtransformacijomizprimitivnorekurzivnefunkcije g. • Primer 2: Funkcija monus (ograničeno oduzimanje) je PR jer se dobija operacijom primitivne rekurzije:

9. gde je f-ja h definisana sa • tj. kao prethodnik prve projekcije, pa je PR jer je dobijena eksplicitnom transformacijom iz primitivno rekurzivne funkcije preth.

10. OGRANičena suma i ograničeni proizvod • Ograničena suma je funkcija oblika za koju se uvodi oznaka . • Teorema: • Neka su funkcije primitivno rekurzivne. Tada je i ograničena suma primitivno rekurzivna. • Dokaz: je trivijalno PR funkcija. Pretpostavimo da je za sve tvrđenje dokazano. Tada je primitivno rekurzivna funkcija kao kompozicija primitivno rekurzivnih funkcija.

11. Ograničeni proizvod je funkcija oblika za koju se uvodi oznaka . • Teorema: • Neka su funkcije primitivno rekurzivne. Tada je i ograničeni proizvod primitivno rekurzivan. • Dokaz: je trivijalno PR funkcija. Pretpostavimo da je za sve tvrđenje dokazano. Tada je primitivno rekurzivna funkcija kao kompozicija primitivno rekurzivnih funkcija.

12. Primitivnorekurzivnipredikati • Predikat je relacija, odnosno neki podskup skupa za neki prirodan broj . Unarni predikat R je PR ako je primitivno rekurzivna njegova karakteristična f-ja ako važi R(n) ako ne važi R(n) • Primer 1: Predikat =, tj. relacijajednakosti, je primitivnorekurzivanjer jeprimitivnorekurzivnanjegovakarakteristična f-ja: • Primer 2: Predikat <, tj. relacijabitimanji, je primitivnorekurzivanjer jeprimitivnorekurzivnanjegovakarakterističnafunkcija .

13. Neka su P i Q dva unarna predikata.Konjunkcija predikata P i Q je unarni predikat sa karakterističnom funkcijom: ako važi P(n) i Q(n) ako ne važi P(n) i Q(n). • Disjunkcija predikata P i Q je unarni predikat sa karakterističnom funkcijom: ako važi P(n) ili Q(n) ako ne važi P(n) ili Q(n) • Negacija predikata P je unarni predikat sa karakterističnom funkcijom: ako ne važi P(n) ako važi P(n)

14. Teorema: • Ako su P i Q dva primitivno rekurzivna predikata, tada su primitivno rekurzivni i predikati . • Dokaz: • Neka su predikati P i Q unarni. Predikati su primitivno rekurzivni jer su im takve karakteristične funkcije: