Elementarne funkcije

Elementarnefunkcije Izradila BorkaJadrijević

Ponovimo: • Svaka monotona funkcija je injekcija. • Za svaku funkciju f : X , suženje f : X  f(X)je surjekcija. • Ako je f : X monotona na nekom intervalu I  X, onda je suženje f : I  f(I)bijekcija.

Ako je f : X Y bijekcija onda vrijedi: • Postoji funkcijag : Y X tako davrijedig  f = iXi f  g = iY. Funkcijag : Y X je jedinstvena, označavamo je g = f -1i nazivamo inverznafunkcija funkcije f. • Graf inverzne funkcije f -1je simetričan grafufunkcije f s obzirom na pravacy = x.

Osnovne elementarne funkcije: • Konstantna funkcija • Opća potencija • Eksponencijalna funkcija iv) Logaritamska funkcija v) Trigonometrijske funkcije vi) Ciklometrijske funkcije

Konstantna funkcija f(x) = c, c  y c x f:    f () = {c}

Opća potencija f(x) = xr, r  \ {0} • Razlikujemo slučajeve: • r = n  • 2. r = -n \  • 3. r = m/n  \  • 4. r  \ 

Potencije s prirodnim eksponentom f(x) = xn, n y y = x y = x2 x y = x3 f : ,f()=za n neparan, f()=[0, )za n paran

Potencije s cijelobrojnim eksponentom oblikaf(x) = x-n, n y y= 1/x y= 1/x2 x y= 1/x3 Budući jex-n = 1/xn onda je f:  \ {0}  ivrijedif() =  \ {0}.

Potencije s racionalnim eksponentom oblikaf(x) = x1/n, n \ {1}. Budući jex1/n= nxonda je: f :  i f() =  za n neparan, f: [0, ) i f([0, ))= [0, )za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x D(f) je (x1/n)n=x, te za svaki y  f(D(f) )je (yn)1/n =y, Dakle, funkcijaf(x) = x1/n je inverzna funkcija funkcije g(x) = xnza n neparan, odnosno suženja funkcije g za n paran.

Primjeri: 1. n = 2 Neka je funkcijag1:[0, )[0, )suženje funkcije g(x) =x2.. y=x2 y y=x y=x1/2 Funkcja g1je bijekcija i za svaki x  [0, )vrijedi f (g1(x)) =(x2)1/2=|x| =x, te za svakiy [0, )vrijedi g1(f(y)) =(y1/2)2=y. x f(x) =x1/2 f: [0, ) f( [0, ))=[0, )

Uočimo: y=x2 Suženjeg2:(-,0][0, ) funkcije g(x) =x2je bijekcija i za svaki x  (-,0]vrijedi f (g2(x)) =-(x2)1/2= -|x| =x, te za svakiy [0, )vrijedi g2(f(y)) =(-y1/2)2=y. y=x y x y=-x1/2 f(x) =-x1/2 f: [0, ) f( [0, ))=(-,0]

2. n=3 Promatrajmo funkcijug(x) =x3 . Funkcija g: jebijekcija i za svaki x  vrijedi f (g(x)) =(x3)1/3=x, te za svakiy vrijedi g(f(y)) =(y1/3)3=y. y y=x3 y=x y=x1/3 x f(x) =x1/3 f:  f() = 

Potencije s racionalnim eksponentom oblikaf(x) = xm/n, m/n \ . • n neparanim > 0,onda je D(f) = , • n neparanim < 0,onda je D(f) =  \ {0}, • n paranim > 0,onda je D(f) = [0, ), • n paranim < 0,onda je D(f) = (0, ). Uz pretpostavkum  , n , teM(m,n)=1 razlikujemoslučajeve:

Primjeri: f(x) =x3/2, D(f) = [0,) f(x) =x-3/2, D(f) = (0, ) f(x) =x2/3, D(f) =  f(x) =x-2/3, D(f) =  \ {0}.

Potencije s realnim eksponentom oblikaf(x) = xr, r  \ . Vrijedi: • zar > 0jeD(f) = [0,) • zar < 0jeD(f)= (0,)

Vrijedi općenito: Inverzna funkcija opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f –1 (y) = y1/r , kad god ti izrazi imaju smisla.

Eksponencijalna funkcija

f(x)= ax ,f: RR je injekcija if(R) = (0, ) a > 1 0 < a < 1 loga(ax) = x, za svakix єR aloga(y)= y, za svakiy є(0,

Trigonometrijske funkcije

Namatanje pravca na kružnicu x x 0

Namatanje pravca na kružnicu O O’ T T’ S S’ 1 T’ =S’ O’ 1 x x+2π 0 T S

Trigonometrijska kružnica 1 T(cosx,sinx) sinx x cosx 1

Trigonometrijska kružnica tgx 1 Os cotangesa x 1 ctgx Os tangesa

Trigonometrijske funkcije Sinus Kosinus 1 -  2 -1 f(x) = sinx, f:  f() = [-1,1] f(x) = cosx, f:  f() = [-1,1]

Ciklometrijske ili arkus funkcije Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija. Ciklometrijske funkcije su : • Arkus-sinus • Arkus-kosinus • Arkus-tanges • Arkus-kotanges

Definirajmo: Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1] tako da jeza svaki x є [-π /2, π /2], sin(x)= Sin (x). Definirajmo:arcsin: [-1,1] [- π/2, π/2] y -/2 /2 x tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], arcsin(sin x)=x,y є [-1,1], sin(arcsin y)=y

Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

Osnovna podjela elementarnih funkcija: • Polinomi • Racionalne funkcije • Algebarske funkcije • Transcendentne funkcije

Elementarne funkcije