Metodi sa ograničenom informacijom

1. Metodi sa ograničenom informacijom Ekonometrija, IV godina Predavač: Aleksandra Nojković Beograd, školska 2012/13

2. Metodi sa ograničenom informacijom • Primena ONK u ocenjivanju parametra strukturnih jednačina dovodi do pristrasnosti (pokazano je da postoji zavisnost greške jednačine i neke od eksplanatornih promenljivih). • Pri uobičajenim pretpostavkama, koeficijenti redukovane forme se mogu konzistentno oceniti metodom ONK. • Konzistentni metodi ocenjivanja strukturnih jednačina razvijeni su upravo na relaciji koja postoji između redukovane i strukturne forme modela.

3. Metod indirektnih najmanjih kvadrata • Jednoznačne ocene parametara strukturne forme mogu se dobiti iz ocenjenih koeficijenata redukovane forme ako je jednačina tačno identifikovana‚. • Dodatno, mora biti ispunjen i uslov ranga, kao i pretposlavke o stohastičnosti KLRM u redukovanoj formi modela. • Metod se još naziva i metod redukovane forme. • Ocene su pristrasne, ali konzistentne (pristrasnost iščezava sa rastom uzorka).

4. Metod dvostepenih najmanjih kvadrata (2SNK) • Najvažnji metod ocenjivanja u grupi metoda sa ograničenom informacijom. • Primenjuje se i na tačno i na prekomerno identifikovane jednačine. • Metod 2SNK daje konzistentne ocene. • Endogene promenljive koje su regresori u strukturnim jednačinama, zamenjuju se linearnim funkcijama svih predeterminisanih promenljivih.

5. Metod 2SNK (nastavak) • Endogene promenljive, korelisane sa greškama jednačine, zamenjuju se svojim ocenama iz redukovane forme (predeterminisane prom. u limesu verovatnoće nisu korelisane sa greškama jednačine). • Reč je metodu instrumentalnih promeljivih, u kome se kao instrumenti za endogene prome. koriste njihove ocene iz redukovane forme. • Ocene iz redukovane forme najbolji instrumenti (u slučaju ispravne specifikacije modela): visoko korelisani sa orig. vednostima endogenih promenljivih i nekorelisae sa greškom jednačine).

6. Postupak primene 2SNK • Ako ocenjujemo prvu strukturnu jednačinu jednačinu: y1=Y1β1+X1α1+u1, gde je: y1-vektor kolona on n-opservacija zavisne prom. Y1-matrica (nxl) opservacija tekućih vrednosti drugih endogenih prom. iz prve jednačine X1-matrica (nxk) opservacija predeterminisanih prom. prisutnih u prvoj jednačini. α1 i β1 su strukturni parametri uz prisutne prom. u1-vektor od n grešaka.

7. Postupak primene 2SNK (nastavak) • Pri tome, matrica dimenzija (nxK) svih predeterminisanih prom. u sistemu može se zapisati kao: X= (X1 X2), gde je X2 matrica K-k opservacija predetermininisanih prom. izostavljenih iz prve jednačine, ali prisutnih u sistemu. • Pretpostavlja se da je E(u1u1’)=σ12I, da je ispunjen uslov ranga, a prema uslovu reda jednačina može biti tačno ili prekomerno identifikovana.

8. Ocenjivanje u dva stepena • U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se metod ONK na redukovanu fomru, da se dobije ocena matrice • U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se primenjuje metod ONK u regresiji zavisne promenljive y1 na predeterminisane X1 i instrumentalne promenljive

9. Ocenjivanje u dva stepena • U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se metod ONK na redukovanu fomru, da se dobije ocena matrice • U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se primenjuje metod ONK u regresiji zavisne promenljive y1 na predeterminisane X1 i instrumentalne promenljive

10. Prvi stepen ocenjivanja metodom 2SNK • Ocena se dobija regresijom promenljivih Y1 na sve predeterminisane promeljive u sistemu: gde su koeficijenti redukovane forme ocenjeni metodom najmanjih kvadrata.

11. Prvi stepen ocenjivanja metodom 2SNK • Ocena se dobija regresijom promenljivih Y1 na sve predeterminisane promeljive u sistemu: gde su koeficijenti redukovane forme ocenjeni metodom najmanjih kvadrata.

12. Drugi stepen ocenjivanja metodom 2SNK • Zavisna promenljiva y1 se regresira na predeterminisane X1 i instrumentalne promenljive • Kako u redukovanoj formi važi: gde je V1matrica reziduala u ocenjenim jednačinama redukovane forme, uz važenje osobina reziduala dobijenih metodom ONK: X1’V1=0;

13. Drugi stepen ocenjivanja metodom 2SNK (nastavak) • Kako je: • Odatle sledi: • Ako eksplanatorne promenljive polaznog modela označimo sa W1 = (Y1 X1), a strukturne parametre sa , tada se ocene 2SNK mogu izraziti formulom: koja je izračunata iz originalnih podataka uključujući oba stepena ocenjivanja.

14. Konzistentnost ocena 2SNK • Polaznu jednačinu: y1=Y1β1+X1α1+u1, možemo zapisati kao: odnosno kao: gde je Z1–matrica eksplanatornih promenljivih u drugom stepenu, a δ1 je vektor eksplanatornih promenljivih. • Pri tome, nove greške imaju novu varijansu. • Vektor ocena primenom NK u drugom stepenu:

15. Konzistentnost ocena 2SNK (nastavak) • Uzimajući limes verovatnoće ocena NK u drugom stepenu: jer je: • U praksi se matrica ocena varijansi i kovarijansi ocena 2 SNK dobija kao: dakle, varijansa grešaka se ocenjuje kao suma kvadrata reziduala iz drugog stepena ocenjivanja, podeljena sa brojem stepeni slobode za datu jednačinu.

16. Metod instrumentalnih promenljivih • Metod 2SNK se može predstaviti kao primena metoda instrumentalnih promenljivih na strukturni jednačinu. • Matrica instrumenata je particionirana tako da sadrži ocenjene vrednosti endogenih promenljivih iz prvog stepena ocenjivanja, a predeterminisane promenljive koje se javljaju u jednačini su sopstveni instrumenti: • Jednostavno se pokazuje jednakost ocena ONK u drugom stepenu ocenjivanja i ocena dobijenih metodom inst. promenljivih:

17. Metod IP (nastavak) • U klasi instrumentalnih promenljivih koje su linearne funkcije predeterminisanih varijabli, varijable Z su najbolji instrumenti, odnosno imaju najmanje varijanse. • Preko konzistentnosti ocena dobijenih metodom 2SNK, dokazuje se da i metod instrumentalnih promenljivih daje konzistentene ocene.

18. Metod maksimalne verodostojnosti • Zasniva se na pretpostavci o normalnoj raspodeli slučajne greške, daje ocene sa asimptotski poželjnim osobinama. • Metod MV uzima uzorak kao fiksiran, te imajući u vidu varijacije uzorka, o parametrima skupa se sudi na osnovu njihove ocene iz uzorka. • Kako je uzorak mogao biti generisan iz različitih populacija, sa različiim skupovima parametara, od svih mogućih skupova parametara bira se onaj koji je sa najvećom verovotnoćom (maks. verodostojnost) generisao opservisani uzorak.

19. Metod maksimalne verodostojnosti sa ograničenom informacijom (MVOI) • Zasniva se na sledećim pretpostavkama: • Jednačina koja se ocenjuje sadrži samo deo od ukupnog broja endogenih i predeterminisanih prom. sistema (koje su sve poznate) • Jednačina je prekomerno identifikovana • Strukturne jednačine sistema su linearne • Greške jednačina imaju normalnu raspodelu i nisu autokorelisane • Dozvoljava se istovremena zavisnost grešaka različitih jednačina. • U klasi instrumentalnih promenljivih koje su linearne funkcije predeterminisanih varijabli, varijable Z su najbolji instrumenti, odnosno imaju najmanje varijanse. • Preko konzistentnosti ocena dobijenih metodom 2SNK, dokazuje se da i metod instrumentalnih promenljivih daje konzistentene ocene.

20. Metod MVOI (nastavak) • Mora se poznavati tačna specifikacija strukturne jednačine koja se ocenjuje i predeterminisane prome. celog sistema. • Ignoriše se informacija o strukturi drugih jednačina (slično metodama NK). • Invarijantan je na pravilo normalizacije (za razliku od metoda NK). • Komplikovanija procedura računanja ocena.