STATISTIK DAN PROBABILITAS pertemuan 15 & 16 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

1. STATISTIK DAN PROBABILITASpertemuan 15 & 16Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

2. BAB XI TeoriProbabilitas Definisi : jikaterdapatsejumlah n kejadian yang mungkintimbuldanjikakejadiantersebutlengkap terbatasjumlahnya (exhaustive), salinglepasdanmemilikikesempatan yang samauntuktimbul, makajikasejumlah m darikejadiandiatasmerupakanperistiwa E, probabilitaperistiwa E tersebutdapatdirumuskansebagaisuatu ratio m/n Ruangsampel Definisi : Sebuahruangsampel S yang berkenaandengansuatupercobaanaktualmaupun konseptualmerupakansebuahhimpunan yang memilikiketentuan : 1. Tiapunsurdari S menyatakansatuhasilpercobaan . 2. Tiaphasilpercobaanharussesuaidengansatudanhanyasatuunsurdari S.

3. Contoh 1 : Jumlahmatadadusebagaihasilpelemparansebutirdadumerah (x) & sebutirdaduputih (y) Ruangsampeldisampingdapatditulis S={(x,y) 1  x  6; 1  y  6 } Padapelemparan 2 butirdadudiatas, seluruhkejadian (hasil) yang mungkintimbuladalahsebesar6n=62=36. Dengankata lain ruangsampelterdiriatas 36 titiksampel. Probabilitasterwujudnyatiaptitiksampel yang terdapatdalamruangsampeltersebutmenjadisebesar1/36. Probabilitax=yadalahsebesar 6/36 atau 1/6 yaitu (1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5) dan (6,6). Probabilitax+y=10adalahsebesar 3/36 atau 1/12 yaitu (4,6),(5,5), dan (6,4)

4. Contoh 2 : Probabilitauntukdapatmemilihsebuahsampel yang terdiridari 3 orangdarisebuahpopulasi yang terdiridari 30 orangadalahsebesar

5. Peristiwa (event) Ruangsampeldapatdianggapsebagaisuatuhimpunan universal bagisemuahasilaktual yang mungkinterjadi,karenapadatiappercobaankitaselaluinginmengetahuiterjadinyapelbagaimacamperistiwaataukejadian yang berkenaandenganpercobaan Padapercobaanpelemparansekepinguanglogamsebanyak 3 kali akanmenghasilkanruangsampelS={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} PeristiwatimbulnyaduasisiadalahA={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}

6. Probabilitassuatuperistiwa Definisi : jikasuatupercobaandapatmenimbulkansejumlah n hasil yang berbedasertamemilikikesempatanuntukterwujudygsama& jika m darihasildiatasmerupakanperistiwa A, Jikasemuaperistiwa yang bukan A dinyatakandengan A’ , Perumusandiatasharusmemenuhi : Probabilita A bukanbilangannegatifp(A) > 0 Jumlahprob A harus =1 ataup(A)+p(A’)=1 Perumusandiatasmembawakonsekuensiprob A dan A’

7. Contoh : sebutirdadu yang homogenmemiliki 6 sisi, 4 darikeenamsisidicatmerahsedangkan 2 sisinyadicatbiru. Jikadadutersebutdilemparsekali, berapakahprobabilitatimbulnyasisi yang bercatmerahdanberapaprobabilitatimbulnyasisidadu yang bercatbiru. p(merah) =4/6=2/3=0,667 P(biru) =2/6=1/3=0,333 Probabilitarelative = p(A)/p(A’) = (2/3)/(1/3) = 2/1 atau 2 berbanding 1

8. Ketentuan : JikaA merupakansuatuperistiwa, makakitakatakanrasio yang menguntungkan A adalah a berbanding b jikadanhanyajika Dan rasio yang yangmerugikan A’ adalah b berbanding a jikadanhanyajika

9. Peristiwa yang salinglepas (mutually exclusive) Duaperistiwamerupakanperistiwa yang salinglepasjikakeduaperistiwatersebuttidakdapatterjadipadawaktu yang bersamaan. Secaramatematis, duahimpunan A dan B dikatakansalinglepasatauterpisah (disjoint) jikadanhanyajikakeduahimpunanitutidakmemilikiunsur yang samadan AB= Teorema :jika A dan B salinglepasdanmerupakanperistiwadalamsebuahruangsampel yang terbatasmaka p(A  B) = p(A) + p(B) dimana A  B =  dan p(A  B) = p() = 0 B A

10. Contoh1 :Jikasebuahdadudilemparsekali , berapakahprobabilitatrimbulnyamatadadu 1 ataumatadadu 5 p(A  B) = p(A) + p(B) = 1/6+1/6 =1/3 Teorema : Jikaterdapatbeberapaperistiwa yang salinglepas A1,A2,A3,…,Am dalamruangsampelmaka p(A1  A2  A3...  Am)= p(A1)+p(A2)+…+p(Am) Contoh 2 :padapelemparansebuahdaduhomogenberapakahprobabilitamunculnyamata 1 ataumata 2 ataumata 3 ataumata 4 ataumata 5 ataumata 6. = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1/6+ 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 1

11. Latihan • Sebuahdadudilempardua kali . Peluangmendapatkanjumlahmatadadu paling sedikit 10 adalah .. • Dari seperangkatkartu bridge diambilsecaraacaksatulembarkartu. Peluangterambilnyakartubukan As adalah … • Duadadudilemparsekali. Besarpeluangmunculnyajumlahmatakeduadadu = 7 atau 10 adalah … • Suatukantongberisi 10 kelerengmerahdan 20 kelerengputih. Peluanguntukmengambil 1 kelerengmerahadalah … • Padapelemparantigauanglogambersamaan , peluangmunculsekurang – kurangnya 1 gambaradalah …

12. B A Peristiwa yang tidaksalinglepas Definisi: Duaperistiwadikatakantidaksalinglepasjikakeduaperistiwatidakterpisah Teorema :Jikaperistiwa A dan B merupakansuatugabungan (union) dantidaksalinglepasdankeduaperistiwatersebutterdapatdalamsebuahruangsampel yang terbatasmakaprobabilita AB adalah P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) Jikaperistiwa A,B dan C danperistiwatersebuttidaksalinglepasmakaperistiwa A atau B atau C P(ABC) = p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC) B A C

13. Contoh : Dalamsebuahpopulasi yang terdiridaripembacakoran, persentasipembacakoran A,B danC adalahsebagaiberikut : yang membacakoran A= 9,8%, yang membacakoran B=22,9%, yang membacakoran C=12,1%, yang membacakoran A dan B =5,1%, yang membacakoran A dan C =3,7% dan yang membacakoran B dan C=6,0%. Sedangkan yang membacakoran A dan B dan C = 2,4% Tentukanlah: Berapapersenpembaca yang ternyatamembaca paling sedikitsatukoran. p(ABC)=p(A) + p(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - p(B C) + p(ABC) = 9,8% + 22,9% + 12,1% - 5,1% - 3,7% - 6,0% + 2,4% = 32,4% b. Berapaprobabilitaseorang yang dipilihsecara random daripopulasitersebut yang membacakoran A atauB p(AB)=p(A)+p(B)-p(A B) =9,8%+22,9%-5,1% = 27,6% c. Berapaprobabilitaseorang yang dipilihsecara random daripopulasitersebut yang membacakoran A atau C p(AC)=p(A)+p(C)-p(A C) = 9,8%+12,1%-3,7% = 18,2% d. Berapaprobabilitaseorang yang dipilihsecara random daripopulasitersebut yang membacakoran B atau C p(BC)=p(B)+p(C)-p(BC) =22,9%+12,1%-6,0% = 29,0%

14. Peristiwa yang independen Defenisi : Duaperistiwadikatakanindependenjikadanhanyajikaterjadiatautidakterjadinyaperistiwapertamatidakmempengaruhiterjadinyaperistiwakedua p(A  B)=p(A).p(B) Contoh : Jikaduabuahkartudipilihsecara random dansecaraberturut-turutdarisetumpukkartu bridge. Jikakartupertamadikembalikansebelumkartukeduadipilih. Berapaprobabilitakartupertamakartukeritingdankartukeduabukankartu AS

15. Probabilita bersyarat Jika p(B) > 0, probabilitabersyaratdariperistiwa A dengansyaratperistiwaB Contoh :Tiga bola putihdansatu bola merahdimasukkankedalamkotak, jikaseorangsecara random danberturut-turutmengambil 2 bola daridalamkotak. Serta bola pertamatidakbolehdikembalikansebelum bola keduadiambil. Berapaprobabilitakedua bola ituputihsemua

16. TeoremaBayes Teorema BAYES dikemukakanoleh Thomas Bayestahun 1763 Teorema 1:Jika{A1,A2,…,An} merupakansuatuperistiwadariruangsampel S danjikasetiapperistiwa {A1,A2,…,An} memilikiprobabilita  0 maka P(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A2).p(A/A2) +…+ p(An).p(A/An) Teorema 2 :Jika {A1,A2,…,An} merupakanperistiwadariruangsampel s danjikamasing-masing {A1,A2,…,An} memilikiprobabilita  0 danjikatiapsebarangperistiwa A memilikiprobabilita p(A) > 0 makatiapbilanganbulat k, 1  k  n, kaedahBayesdirumuskan

17. Contoh1 : 30% darikeluargadenganpenghasilankurangdari Rp120.000/bulan, 25 %darikeluargadenganpenghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 25 % darikeluargadenganpenghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 20 % darikeluargadenganpenghasilanlebihdari Rp2.500.000/bulan. 50% darikeluargadenganpenghasilankurangdari Rp120.000/bulan, 30% darikeluargadenganpenghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 10 % darikeluargadenganpenghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 2 % darikeluargadenganpenghasilanlebihdari Rp2.500.000/bulan, telahmenerimapaketkuesionertentangpengeluarankeluargaperbulan. Andaikansecara random kitamemilihsatukeluargadiatasberapaprobabilitakeluargatersebut yang terpilihsudahmenerimapakettersebut P(A) = p(A1 )p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+p(A3).p(A/A3)+p(A4).p(A/A4) P(A) = 0,30.0,50+0,25.0,30+0,25.0,10+0,20.0,02 P(A )= 0,254

18. Contoh 2 : Dari seluruhpenderita TBC yang diujidengansinar X, 90% dariseluruhpemeriksaanmembenarkanadanya TBC padadiripenderita, tetapi 10% darihasilpemeriksaangagalmenemukanadanyapenyakit TBC. Dari semuaorang yang bukanmerupakanpenderita TBC dan yang diujimelaluisinar X, 99% hasilpemeriksaanmembenarkanbahwaorang-orangtersebutbebas TBC, tetapimasihada 1 % yang menunjukkanadanyapenyakit TBC. Jikaseorangdiambilsecara random dimana 0,1 % saja yang menderita TBC danjikaorangtersebutdiperiksadengansinar X, ternyatamemangadapadaorangtersebut. Berapaprobabilitabenar-benarmenderita TBC P(A1) = 0,001 (menderita TBC 0,1%, dipilihsecara random) p(A1’) =1-0,001= 0,999 (tidakmenderita TBC) P(A/A1) =0,90 (menderita TBC 90% , dengansinar X) p(A/A1’) =0,01 (menderita TBC 1% , setelahdiujisinar X untuk ke-2 x nya)

19. Contoh 2 (lanjutan):

20. Contoh 2 (Lanjutan) :

21. Latihan Peluangseoranglaki – lakiakanhidup 25 tahundarisekarangadalah 4/7 danpeluangistrinyaakanhidup 25 tahundarisekarangadalah 3/5. peluangbahwa 25 tahundarisekarang paling sedikitsatuorangakanhidupadalah … Suatukelasterdiridari 40 siswa , 25 siswagemarkalkulus , 21 siswagemaraljabar , dan 9 siswagemarkalkulusdanaljabar. Peluangseorangsiswatidakgemarkalkulusmaupunaljabaradalah … Sebuahkartudiambilsecaraacakdarisatu set kartu bridge. Peluangbahwa yang terambiladalahkartumerahataukartu As adalah …

22. BAB XII PermutasidanKombinasi Permutasisejumlahobjekadalahpenyusunanobyektersebutdalamsuatuurutantertentu Permutasidari n obyekseluruhnya Definisi: jika n menyatakanbilanganbulatpositifmakahasilpenggandaanbilangantersebutdari 1 sampai n dinamakanfaktorialdandiberitanda n! Teorema 1 : Permutasidarikeseluruhan n obyek yang berbedajumlahpermutasidarisuatuhimpunan yang terdiridari n obyek yang berbeda, secarakeseluruhanmenjadi n!  nPn= n! Contoh : jumlahpermutasi 3 jilidbuku A, B, C adalah3P3 = 3! = 3.2.1 = 6

23. Teorema2 : Permutasisebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlahpermutasidarisuatuhimpunan yang terdiridari n obyek yang berbedadan yang diambilsekaligussebanyak r sertatampapengulangan Contoh : jumlahpermutasi 2 huruf yang diambildarikataLAUT Teorema 3 :Permutasidari n obyekjika n obyektersebutmembuatsebuahlingkaran. Sejumlah n obyek yang berbedadapatdisusunsecarateraturdalamsebuahlingkarandalam (n-1)! Cara. Contoh : Sekolompokmahasiswa yang terdiridari 7 orangdudukmengelilingisebuahmejabundar. Berapacara yang dapatdilakukan agar mahasisiwabisadudukdisekelilingmejatersebut (7-1)! = 6x5x4x3x2x1 = 720 cara.

24. Kombinasidarisejumlahobyekmerupakancarapemilihanobyek yang bersangkutantampamenghiraukanurutanobyektersebut Teorema :Kombinasisebanyak r dari n obyek yang berbeda Contoh : Suatusampelharusterdiridari 5 orangjikarespondentersebutdipilihdarisuatupopulasi yang terdiridari 6 priadan 3 wanita. Dalamberapacarasampeldiatasdapatdipilihjikaharusmemilikikomposisi paling sedikit 3 pria. 3 pria 2 wanita 4 pria 1 wanita 5 pria 0 wanita Maka total = 60 + 45 + 6 = 111 cara

25. QUIZ Dalamsebuahkotakterdapat 5 bola merah . 4 bola kuningdan 3 bola biru. Jikadiambil 3 bola sekaligussecaraacakmakapeluang yang terambilitudua bola merahdansatu bola kuningadalah .. Pengurussuatuorganisasiterdiridarienamorang. Calon yang tersediaterdiridari lima priadanempatwanita. Tentukanbanyaknyasusunanpengurus yang dapatdibentukjika paling sedikitterpilihtigapria ! Tersedia 10 gambar yang berbeda , 2 darigambaritudigantungkandalamsebuahbaris. Dalamberapacarahalinidapatdikerjakan ? Berapacara 10 orangdapatdudukpadakelilingmejaapabila 2 orang yang istimewaharusdudukselalubersama ? Berapacarasuatupasangangandaputrabulutangkisdapatdisusundari 10 pemainputra? Berapakahbanyak diagonal segi-6 ? Berapacarasuatutim basket “3 on 3” dapatdisusundari 10 pemain ? Seorangsiswadiperbolehkanmemilih 5 dari 10 soal. Dalamberapacaraiadapatmemilihnya ?