Tiesinių nelygybių sistemos

1. Tiesinių nelygybių sistemos

2. Tiesinių nelygybių su n nežinomųjų sistemos sprendinys yra toks skaičių rinkinys kuris tenkina kiekvienąsistemos nelygybę.

3. Kai nežinomųjų yra vienas, du arba trys, bet kurios tiesinių nelygybių sistemos sprendinių aibę galima pavaizduoti grafiškai.

4. Pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių nelygybių sistemossprendinių aibęX, kai :

5. L2: L3: L1: x x x 3 0 5 0 0 1 y y y 2 0 1 0 0 4 Iš pradžių nubrėšime tieses: (L1) (L2) (L3) Tam tikslui sudarysime lenteles. Kadangi brėšime tiesę, tai užteks dviejų taškų:

6. Atidedame gautus taškus ir per juos nubrėžiame tieses: y 4 2 1 1 3 5 x

7. y 4 2 1 1 3 5 x Nustatome sprendinių sritį: X

8. Optimalus planavimas

9. Sprendžiant įvairius verslo veiklos uždavinius tenka ieškoti optimalių ekonomikos parametrų reikšmių. Nagrinėjant optimalaus planavimo uždavinius paprastai išskiriamos dvi esminės komponentės – ekonominės veiklos dalyvių interesai ir galimybės. Interesai išreiškiami tikslo funkcija, o galimybės – leistinąja sprendinių aibe.

10. Sprendžiant optimalios verslo veiklos planavimo uždavinį leistinoje sprendinių aibėje reikiarastitokį kintamųjų rinkinį, su kuriuo tikslo funkcija įgyja optimalią (didžiausią arba mažiausią – priklausomai nuo uždavinio turinio) reikšmę.Kai turime du nežinomuosius tai leistinąją aibę ir tikslo funkciją galima pavaizduoti grafiškai.

11. Panagrinėsime bendrą atvejį. Tarkime įmonė planuoja gaminti dviejų pavadinimų produkciją iš žaliavų kuriųatsargos yra atitinkamai tam tikrųkiekio vienetų. Žaliavų sąnaudų vienam produkcijos vienetui pagaminti bei jų atsargų kiekiai pateikti lentelėje:

12. P2 P1 Atsargos a11 a12 R1 b1 a21 a22 R2 b2 a32 a31 R3 b3 Pagamintos produkcijosP1 ir P2vieneto kainac1 ir c2 (litais). Koks turi būti gamybos planas, kad iš turimų žaliavų pagaminta produkcija duotų įmonei didžiausias pajamas? Sudarykime matematinį uždavinio modelį:

13. Planuojamus pagaminti produkcijosP1 ir P2kiekius pažymėkime atitinkamaix1 ir x2, o skaičių rinkinį pavadinkime gamybos planu. Įmonės pajamas, gautas pardavus šį prekių rinkinį pažymėkime P(x). Pagal uždavinio sąlygą pajamos lygios:

14. Kadangi įmonės tikslas yra gauti didžiausias pajamas, tai šią funkciją toliau vadinsime tikslo funkcija. Aptarsime įmonės galimybes. ŽaliavųR1 ,R2 , R3sąnaudas planuix=(x1,x2)įvykdyti pažymėkime atitinkamais1(x), s2(x) ir s3(x).Atsižvelgę į duotą sąnaudų lentelę, jas skaičiuosime pagal šias formules:

15. Aišku, planuoti galima tik taip, kad žaliavų sąnaudosneviršytųturimų atsargų. Prasmingi tik tie planai x, kurių komponentės patenkina šią apribojimų sistemą:

16. Jie ir sudaro gamybos optimalaus planavimo uždavinio leistinąją sprendinių aibę X.Sprendiniui X reikia rasti porąx=(x1,x2), su kuria tikslo funkcijos reikšmė yra didžiausia. Glaustai šis uždavinys – gamybos optimalaus planavimo matematinis modelis užrašomas taip:

17. Rasti kai Tiesinio optimalaus planavimo uždavinį galima išspręsti taikant grafinį metodą arba universalų simpleks metodą.

18. Pavyzdys.Dviejų pavadinimų siuviniams S1 ir S2 naudojami trijų artikulų audiniai A1 , A2 ir A3. Audinių sąnaudų normos (metrais) kiekvienam siuviniui, turimos atsargos (metrais) ir pelnas (litais) už kiekvieną parduotą siuvinį pateikti lentelėje: Sudarykite didžiausią pelną duosiantį siuvimo planą.

19. Sudarome matematinį modelį: max(25x1+20x2) Šį uždavinį spręsime grafiškai: 1)Pavaizduosime leistinąją aibe X grafiškai, t.y. sudarome tiesines lygtis ir nubraižome tiesesL1, L2 ir L3.

20. 2) Nustatome apribojimų sistemos nelygybių sprendinių aibių pusplokštumes. Planų aibė X bus pusplokštumių sankirta. 3)Tikslo funkcijos (pajamų) P(x)=25x1+20x2reikšmėms tirti leistinoje aibėje sudarome lygio lygtį25x1+20x2=0. 4) Brėžiame lygio lygties sprendinių aibės tiesę ir ieškome jai lygiagrečios tiesės , kuri bus liestinė sričiai X ir bus nubrėžta taip, kad visa sritis X liks po šia tiese.

21. L1: L2: L3: x1 x1 x1 20 80 10 40 60 40 60 60 40 x2 10 40 40 x2 x2 1)

22. y L1 10 x 10 L2 L3

23. 2) y X L1 10 x 10 L2 L3

24. y Z: X x1 0 -20 L1 10 0 25 x2 x 10 L2 L3 3) lygio lygtis25x1+20x2=0 Z

25. y max(25x1+20x2) X L1 10 x 10 L2 L3 4) Z

26. Belieka surasti šį tašką: tai dviejų tiesių L2 ir L3 susikirtimo taškas

28. Didžiausią pelną gausime, kai abiejų siuvinių S1 ir S2 siusime po 40 ir tada pelnas bus:

29. Ačiū už dėmesį