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Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades

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Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades

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Presentation Transcript

  1. Matemática Antigua Matemática Actual ¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS? • Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades Teoría de los Números Números Geometría Figuras

  2. Biólogos Químicos Físicos Matemáticos Gauss, 1801 “La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” 2004 ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!

  3. EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos “Más que cualquier cantidad de primos dada”. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Qué es un número primo? Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... ? ¿Cuántos números primos hay?

  4. EULER (1737): La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados. CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x . NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Cuántos números primos hay? ? ¿En qué proporción?

  5. Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann): Proporción de primos menores queN~ < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones “normales”?

  6. c 0 1 1/2 Función con primos = fórmula complicada con   Riemann Prueba “buena” Función rara= fórmula complicada con primos (s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) c=Re(cero más a la derecha)

  7. !  MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN  Carril exclusivo para los próximos 109 ceros (RIEMANN) No se admiten ceros 1/2 -4 -2 1 Al infinito Ceros en cautividad (no son peligrosos)

  8. Teorema de los números primos El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N). HR Hipótesis de Riemann (1859):Todos los ceros no triviales de la funciónestán en “fila india”.

  9. Abstracción, Matemáticas Realidad EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones debilitadas Hume, 1736 “A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.”

  10. La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. Pero ... Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc. No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana.

  11. ... ¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad? ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? (I. Stewart) B A lanca na

  12. Cosas fáciles (con ordenador): · Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de ab al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador): · Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p ¿Cómo construir “candados” con los primos? · RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976)

  13. 2=14=122 8=20=-4 Suma 11+4=3 Resta 2-3=-1=11 Multiplicación 7·7=1 División 2·algo=5, no existe 5/2. Notación: Significa que a y b son la misma hora Lo mismo para un reloj con p (primo) números La aritmética del reloj

  14. p=5 p=3 La aritmética del reloj (primo) · En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. · (China, comienzos de nuestra era) 2·2·p veces·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a ·p veces· a son siempre las a en un reloj primo.

  15. Blanca Ana Clave=gab Clave=gab Cx x x Cx ¿ ga , gb gab ? p=primo grande (cientos de cifras), g= generador x= mensaje (p) a ga gb b

  16. ..... analizar 10 10 1 2 3 9 enrollar Método mejor NÚMEROS + ANÁLISIS ¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3?

  17. Ejemplo no trivial:

  18. Tambor rectangular: Tambor circular, esférico: Un muestrario de ondas Tambor hiperbólico (no euclídeo): Ondas de Maass (formas modulares)

  19. Contar bien estudiar interferencias Dos ideas: · Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre) · Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.

  20. Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto. Teorema de Vinogradov: · Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.

  21. Esta presentación está disponible en: http://www.uam.es/fernando.chamizo

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