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SUMA DE MATRICES

SUMA DE MATRICES. Bloque I * Tema 022. SUMA DE MATRICES. Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C.

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SUMA DE MATRICES

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  1. SUMA DE MATRICES Bloque I * Tema 022 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. SUMA DE MATRICES • Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. • PROPIEDADES • Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. • Es conmutativa: A+B = B+A • Tiene elemento neutro (La matriz nula). • Toda matriz tiene su matriz opuesta. Matemáticas Acceso a CFGS

  3. SUMA DE MATRICES OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 2 6 10 = 6 10 14 10 14 18 Matemáticas Acceso a CFGS

  4. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ • Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. • PROPIEDADES • Es distributiva respecto a la suma de matrices: • k.(A+B)=k.A+k.B • Es distributiva respecto a la suma de escalas: • (k1+k2).A=k1.A+k2.A • Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A • Tiene elemento unidad: 1.A = A Matemáticas Acceso a CFGS

  5. PRODUCTO DE k.A 1 4 7 . 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k k . A = k 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10 (-2) . A = (-2) . Matemáticas Acceso a CFGS

  6. PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA • ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA • Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. • IGUALDAD DE MATRICES • Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j • PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA • La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. • t t t • (A.B)=B . A • t t t • (A+B) =A + B • t t • (k.A) =k. A Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Ejemplos • (At)t = A • Sea A = 2 -1 3 • -1 2 4 • At = 2 -1 • -1 2 • 3 4 • (At)t = 2 -1 3 • -1 2 4 • Vemos que se cumple dicha propiedad. Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Ejemplos • (A.B) t = B t . A t • -3 • Sea A = 2 -1 3 y B = 5 • 2 • A.B= 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 • (A.B) t = - 5 • 2 • B t . A t = -3 5 2 . - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 • 3 • Vemos que se cumple la propiedad. Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Ejemplos • (A+B) t = A t + B t • Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 • 3 4 1 6 • A+B= 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 • 3+1 4+6 4 10 - 4 10 • At = 2 3 y Bt = 5 1 • -1 4 -3 6 • At + Bt = 2+5 3+1 = 7 4 • -1-3 4+6 -4 10 • Vemos que se cumple la propiedad. Matemáticas Acceso a CFGS

  10. Ejemplos • (k.A)t =k. At • Sea A = 2 -5 7 y k = 3 • -1 6 4 • 6 - 3 • k.A= 3.A = 6 -15 21  (3.A)t = -15 18 • -3 18 12 21 12 • 2 -1 6 -3 • k. At = 3.At = 3 . -5 6 = -15 18 • 7 4 21 12 • Vemos que se cumple dicha propiedad. Matemáticas Acceso a CFGS

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