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MODULO I

MODULO I. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA. Definición de Ángulo : Un ángulo es la abertura comprendida entre dos segmentos, uno llamado lado inicial y el otro lado terminal y que tienen un punto en común llamado vértice. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA. Medición de ángulos :

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Presentation Transcript

  1. MODULO I ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  2. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Definición de Ángulo:Un ángulo es la abertura comprendida entre dos segmentos, uno llamado lado inicial y el otro lado terminal y que tienen un punto en común llamado vértice.

  3. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Medición de ángulos: Para el estudio de las funciones circulares, un ángulo además de medirse en los sistemas sexagesimal y centesimal se mide en el sistema de medida circular.Sistema sexagesimal: La rotación total de una circunferencia corresponde a un ángulo de 360°. La unidad básica para la medición de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado, que se define como parte de la rotación total: • Se tiene entonces que : 1° = 60´ y 1´= 60"

  4. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Sistema Centesimal: En este sistema la unidad de medida es el grado centesimal. El mismo se define como la centésima parte de un ángulo recto. Es decir que : 1° = 1/100 Por lo tanto si dividimos al grado centesimal por 100 tendremos el minuto centesimal :1´ =1°/100 Y el segundo centesimal : 1”=1’/100

  5. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Sistema Circular En este sistema la unidad de medida es el radian. El radian se define como el ángulo en el cual la longitud del arco (s) es igual al radio (r): Esta condición se da (r=s) cuando el ángulo subtendido por el arco en el sistema Sexagesimal es de 57,3°

  6. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Equivalencias entre los Sistemas de Medida La pregunta que podríamos hacernos es cuantos radianes tiene un ángulo que rota 360° sexagesimales? Entonces si dividimos 360 /57,3 ≈ 6.283 La mitad de este ángulo es lo que conocemos comúnmente como el Numero π≈3.1416 Por lo tanto 360°= 2π

  7. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Tenemos que π radianes es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias:

  8. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo. B Hipotenusa B c a A=90º C A b C

  9. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA θ= L/R ; R=1 θ= L/1 ; θ=L (solo se cumple numéricamente) “Es decir que el numero de radianes del ángulo central es igual a la longitud del arco pero solo como arco numérico”

  10. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen de coordenadas. En ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma: El vértice en el origen de coordenadas. Uno de sus lados en el eje de las x. El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj. La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido antihorario: primero, segundo, tercero y cuarto:

  11. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  12. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo de las y es el primer cuadrante. La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las y, y el semieje negativo de las x es el segundo cuadrante Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta tenemos: Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0 Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0 Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0 Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0 Dependiendo del cuadrante considerado, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente tienen un valor positivo o negativo.

  13. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Relaciones trigonométricas: seno Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal: • En el ∆ OQP: senθ= QP/OP= Y/1 • . Senθ = y • * De la figura:

  14. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical: En el ∆ PNO: cosθ= NP/OP= x/1 . cosθ = x De la figura:

  15. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el ∆ TAO: tgθ= AT/OA= y1/1 . tgθ = y1 De la figura:

  16. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos B(0;1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el ∆ TOB: cotgθ= BT/BO= X1/1 cotgθ = X1 De la figura:

  17. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco (A), se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco: En el ∆TOB: secθ= OT/OP= X2/1 . secθ = X2 De la figura:

  18. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco. En el TOB: cosecθ= OT/OP= y2/1 . cosecθ = y2 De la figura:

  19. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  20. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

  21. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  22. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA De la expresión anterior pueden derivarse las siguientes

  23. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Relaciones fundamentales Fórmula fundamental Aplicando el teorema de Pitágoras Aplicando las siguientes definiciones

  24. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Relaciones a partir de la fundamental

  25. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  26. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  27. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  28. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  29. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  30. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

  31. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco. En las paginas siguientes se explicitara para mayor claridad las funciones inversas de algunas funciones trigonométricas y sus graficas :

  32. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS El arcoseno es la función inversa del seno. y = arcsen x , x = sen y y es el arco cuyo seno es el número x. arcsen (sen x) = x. El arcoseno también se puede escribir indistintamente como: sen-1 o sin-1

  33. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS El arco coseno es la función inversa o reciproca del coseno. y = arccos x, x = cos y y es el arco cuyo coseno es el número x. . arccos (cos x) = x. El arco coseno también se puede expresar como: cos-1.

  34. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS El arco tangente es la función inversa de la tangente. y = arctg x , x = tg y y es el arco cuya tangente es el ángulo x. arctg (tg x) = x. El arco tangente también se puede escribir como: tg-1 o tan-1.

  35. APLICACIONES PRACTICAS RESOLUCION DE TRIANGULOS

  36. APLICACIONES PRACTICAS Una de las aplicaciones practicas mas comunes en Trigonometría es la resolución de triángulos Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. Primer caso: Se conocen la hipotenusa y un cateto

  37. APLICACIONES PRACTICAS Segundo caso: se conocen 2 catetos

  38. APLICACIONES PRACTICAS Tercer caso: se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

  39. APLICACIONES PRACTICAS Cuarto caso: se conocen un cateto y un ángulo agudo

  40. APLICACIONES PRACTICAS En el triangulo de la figura se cumple la siguiente relación, conocida como el Teorema del Seno:

  41. APLICACIONES PRACTICAS Teorema del Coseno: Tomando como referencia el triángulo anterior, veremos que en el mismo se cumple la siguiente relación conocida como el Teorema del Coseno

  42. APLICACIONES PRACTICAS Quinto caso: Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

  43. APLICACIONES PRACTICAS Dado el triángulo cuyos datos son los siguientes: Lado c = 63 m Ángulo B = 42° Ángulo A = 83° Calcular los valores del ángulo C y de los lados a y b. Solución: Como sabemos que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°, podemos obtener el valor del ángulo C de la siguiente manera: C = 180° - (a + b) = 180° - (83° + 42°) = 55°

  44. APLICACIONES PRACTICAS Conocido el valor de los ángulos y el lado cpodemos aplicar el Teorema del seno para el cálculo de los lados:

  45. REPRESENTACION GRAFICA Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas: Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia. Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas. Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.

  46. REPRESENTACION GRAFICA

  47. REPRESENTACION GRAFICA La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma: A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por         ω= 2π/P o P = 2π/ω.

  48. REPRESENTACION GRAFICA

  49. REPRESENTACION GRAFICA Si graficamos el sonido producido por un diapasón afinado a 440 Hz. veríamos lo siguiente: Esta forma que se parece a las ondas que se producen en el agua cuando tiramos una piedra se llaman precisamente, función de onda asociada al sonido anterior.

  50. REPRESENTACION GRAFICA Si escuchamos a una persona cuando emite el sonido de la vocal A y lo pudiéramos graficar obtendríamos lo siguiente: No es la misma de antes, debe de ser así ya que son sonidos distintos, pero tienen en común una forma con un patrón que se va repitiendo. Cuando eso ocurre en una función decimos que se trata de una función periódica. Se puede demostrar que dicha función se puede descomponer como suma de funciones parecidas a la anterior.

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