Schulheft: Physik I 8. Klasse Superposition von Wellen

1. Schulheft: Physik I 8. Klasse Superposition von Wellen

2. E. Schrödinger Ueber eine bemerkenswerte Eigenshaft der Quantenbahnen eines einzelnen Elektrons Zeit. für Physik 12,13-23 1922 Su una proprietà notevole delle orbite quantizzate di un elettrone singolo

3. Una lettera di Fritz London concernente una estensione della teoria di Weyl Fritz London menzionò l’idea in dettaglio in una lettera scritta a Schrödinger nel Decembre del 1926, alcuni mesi prima di giungere a Zurigo: Esimio Professore: oggi devo parlarLe seriamente. Lei conosce un certo Signor Schrödinger che descrisse, nell’anno 1922, una “notevole proprietà delle orbite quantistiche"? Lei conosce quest’uomo? Cosa?!, Voi dite, lo conoscete piuttosto bene, eravate proprio lì con lui, quando scrisse l’articolo, e siete stato coinvolto in questo lavoro? Questo è proprio schoccante. Quindi Voi sapevate, già quattro anni fa, che noi non possediamo alcun regolo e orologio per la definizione di una misura di Einstein-Riemannian nel continuo, che risulti dall’analisi dei processi atomici; quindi, bisogna considerare se forse I principi generali della misura che originano dalla teoria del trasporto della distanza di Weyl possano essere di aiuto. E voi avete determinato, già quattro anni fa, che essi effettivamente sono di grande aiuto. Infatti mentre usualmente risultano delle incongruenze se si applica il trasferimento di distanza di Weyl . . . , Voi avete dimostrato che per orbite discrete, reali [degli elettroni nell’atomo] il fattore di gauge si riproduce (per [il particolare valore della costante] g = h/2pi) su una traiettoria spazialmente chiusa; ed in particolare Voi avete determinato che, nella nma orbita [quantica] l’unità di misura si dilata e si restringe n volte, esattamente come nel caso di un’onda stazionaria che descriva la posizione della carica.

4. Voi avete quindi dimostrato che la teoria di Weyl diviene ragionevole - cioè porta ad un’unica determinazione della misura solo se combinata con la teoria quantistica; e che non c’è altra scelta, se tutto il mondo degli atomi costituisce un processo continuo senza un punto fisso identificabile. Questo Voi sapevate e non diceste o esprimeste una parola su ciò. Una cosa simile non è mai accaduta prima . . . . Eppure Voi avete in questo lavoro non solo rimosso l’inguaribile confusione della teoria di Weyl. Voi avevate già nelle Vostre mani la natura risonante della condizione quantica, moltoprima di de Broglie; e ponderavate se prendereg = h/2pioppure- e2/ c. Volete ora rapidamente confessare di aver avuto la verità nelle Vostre mani e di averla, come un prete, tenuta nascosta; e Vi deciderete ora finalmente a dire tutto ciò che sapete ai Vostri contemporanei?

5. [2]

10. C. N.Yang

11. Zur Einsteinschen Gastheorie Physikalische Zeitschrift, 27, (1926), 95-101 Sulla teoria del gas di Einstein La statistica quantistica e le onde di materia; edited by P. Bernardini, Napoli: Bibliopolis. 1986. “Das heisst nichts anderes als Ernst machen mit der de Broglie-Einsteinschen Undulationstheorie der bewegten Korpuskel, nach welcher dieselbe nichts weiter als eine Art 'Schaumkamm' auf einer den Weltgrund bildenden Wellenstrahlung ist". “Ciò non significa altro che prendere sul serio la teoria ondulatoria di del corpuscolo in movimento proposta da de Broglie ed Einstein, in accordo con la quale quest’ultimo non è nulla più che una sorta di cresta di schiuma sulla radiazione ondosa che forma il substrato dell’Universo”

12. Dazu führt folgender einfacher Gedanke: die Einsteinsche Gastheorie wird erhalten, indem man auf die Gasmoleküle die Form der Statistik anwendet, die, auf die "Lichtatome" angewendet, zum Planckschen Strahlungsgesetz führt. Aber man kann das Plancksche Strahlungsgesetz auch durch "natürliche" Statistik gewinnen, indem man sie auf die sog. "Aetherresonatoren", d.i. auf die Freiheitsgrade der Strahlung anwendet. Die Lichtatome treten dann nur als die Energiestufen der Aetherresonatoren auf. . . . Man muss also einfach das Bild des Gases nach demjenigen Bilde der Hohlraumstrahlung formen, das noch nicht der extremen Lichtquantenvorstellung entspricht; dann wird die natürliche Statistik. . . zur Einsteinschen Gastheorie führen' A questo nuovo approccio conduce la seguente semplice idea: la teoria del gas di Einstein si ottiene applicando alle molecole del gas quella forma di statistica che conduce alla legge della radiazione di Planck qualora venga applicata agli “atomi di luce” [come ha fatto Bose]. Tuttavia si può ottenere la legge della radiazione di Planck usando la statistica “naturale” se uno la applica ai cosiddetti “oscillatori eterei”, cioè ai gradi di libertà della radiazione. Gli atomi di luce appaiono allora solo come i livelli di energia degli “oscillatori eterei”…Ci si deve quindi semplicemente formare una raffigurazione del gas come le raffigurazione della radiazione di cavità che non corrisponda alla rappresentazione estrema dei quanti di luce; la statistica naturale condurrà quindi alla statistica del gas di Einstein.

13. P. Debye, in un articolo del 1910, • 'Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Theorie der Strahlung', • Annln Phys. 33 (1910), 1427 -1434 • Aveva ricavato la formula di Planck considerando la cavità popolata di “oscillatori di radiazione“ in equilibrio termico. • La densità spettrale di energia era data dalla solita formula: • dove e è l‘energia di equilibrio di un oscillatore etereo a frequenza n. • Ogni oscillatore poteva avere solo energie nhn con n=1,2,3,… • Se all‘equilibrio l‘n-esimo livello energetico viene pesato dal suo fattore di Boltzmann, allora si ha: • cioè la distribuzione di Planck. • N.B. • Planck aveva quantizzato gli oscillatori materiali, mentre Debye quantizzava gli oscillatori di radiazione. • nhn è l‘energia corrispondente all‘n-esimo stato del singolo oscillatore etereo non ad uno stato di n particelle ciascuna con energia hn • Schroedinger cerca di evitare l‘uso della statistica di Bose Einstein trattando il gas di molecole secondo il metodo di Debye. Ciò equivale a considerare come punto di partenza un modello di gas visto come un fenomeno ondoso al quale applicare la quantizzazione secondo Debye.

14. Schrödinger mira a determinare lo spettro energetico discreto per un sistema di N atomi in un volume V. Wir berechnen es in engem Anschluss an L. de Broglie aus der Vorstellung, dass mit der Geschwindigkeit v = bc bewegtes Molekül von der Ruhmasse m nichts weiter ist als ein "Signal", man konnte sagen "der Schaumkamm", eines Wellensystems, dessen Frequenz n in der Nachbarschaft von liegt und für dessen Phasengeschwindigkeit u ein Dispersionsgesetz gilt, das durch vorstehende Gleichung, in Verbindung mit gegeben wird (v spielt dann die Rolle der Signalgeschwindigkeit, wie man leicht nachrechnet und de Broglie gezeigt hat). “ Noi lo calcoliamo in stretto accordo con L. de Broglie, partendo dall’idea che una molecola di massa a riposo m, che si muove con velocità v=bc, non costituisca che un “segnale” - si potrebbe dire una cresta schiumosa - di un sistema ondoso, la cui frequenza n giaccia nelle vicinanze di E la cui velocità di fase u sia determinata da una legge di dispersione data dalla precedente equazione e dalla relazione (v gioca il ruolo di velocità del segnale, come si può facilmente calcolare e come ha mostrato de Broglie).

15. Ora ci dobbiamo occupare di contare il numero delle vibrazioni proprie di un volume V per un fenomeno ondoso che segue questa legge di dispersione.”

16. Ora ci dobbiamo occupare di contare il numero delle vibrazioni proprie di un volume V per un fenomeno ondoso che segue questa legge di dispersione.” Quindi il gas non è più un aggregato di particelle, ma è costituito da un “campo ondoso” complessivo (onde di fase) confinato entro il volume V che segue una legge di dispersione dedotta dalla teoria de de Broglie. A questo punto Schrödinger procede a contare gli stati come Rayleigh o Debye (teoria dei calori specifici) dove determina lo spettro energetico trovando le vibrazioni proprie delle onde elastiche esistenti nel corpo. Detto s il numero delle vibrazioni proprie fra 0 e n, trova: Con ciò risulta determinata l’energia della s-esima vibrazione propria: Quanto di momento lineare che non dipende dalla natura del gas

18. Esiste un caso limite particolarmente interessante, quello di piccoli b: che risulta in perfetto accordo con l’articolo di Einstein sulla statistica dei gas: “Quantentheorie des einatomiger idealen Gases” Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. 1925 pag. 261-267 (vedi )

20. L’altro caso limite interessante è quello di b prossimo a 1: Si trova: Che è il classico risultato per la radiazione. La differenza nella dipendenza funzionale dei valori per l’energia in funzione del numero di vibrazioni proprie è giustificata da Schrödinger mediante la legge di dispersione delle onde di fase. A questo punto si pone il problema di costruire le particelle, come oggetti localizzati, a partire dalle onde (analisi di Fourier, pacchetti, dispersione del pacchetto etc.)

21. Man erreicht dies nun nach Debye und v. Laue dadurch, dass man in der einen ebenen Wellenfunction, von welcher man ausging, nicht nur die Frequenz, sondern auch die Wellennormale über einen kleinen Bereich, einen kleinen Raumwinkel dw variieren lässt und ein Kontinuum infinitesimaler Wellenfunctionen innerhalb dieses Frequenz und Wellennormalen-bereiches zusammenintegriert. […] Ist nach den klassischen Wellengesetzen natürlich nicht zu erreichen, dass das so erzeugte "Modell eines Lichtquants" . . .auch dauernd beisammen bleibt. Vielmehr zerstreut es sich . . . auf immer grössere Raume… Secondo Debye e v. Laue, si ottiene questo cominciando con un’onda piana e lasciando variare non solo la frequenza, ma anche la normale all’onda - quest’ultima in un piccolo angolo solido dw, ed integrando insieme un continuo di funzioni d’onda infinitesimali in questa regione di frequenza e di normali all’onda. […] Una tale costruzione non assicura, in accordo con le leggi classiche delle onde, che il “modello di un quanto di luce” così prodotto . . . rimanga anche insieme in maniera duratura. Piuttosto si disperde in regioni sempre più grandi. . . "

22. Applicazione delle idee di Bose al gas di molecole quantistico 1924 - 1925

23. A. Einstein, “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases“ Berliner Berichte 1924, 261-267 (20 sett. 1924) eine gegenseitige Beeinflussung der Moleküle von vorläufig ganz rätselhafter Art. una mutua interazione delle molecole la cui natura è al presente misteriosa.

24. Enrico Fermi “Molecole e Cristalli” 1934 Chiariremo i diversi modi di contare gli stati nelle tre statistiche di Bose Einstein, Fermi e Boltzmann su un semplicissimo esempio numerico. Supponiamo che il sistema sia costituito da due molecole eguali e che per ciascuna di esse si abbiano tre stati quantici traslatori rappresentati dalle tre cellette negli schemi della figura 47. I numeri N1 N2 N3 la cui somma deve essere 2, possono prendere le 6 terne di valori (2,0,0) (0,2,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) Le realizzazioni di questi stati sono rappresentate nella fig. 47. Nello schema corrispondente alla statistica di Boltzmann le due molecole sono state indicate con due lettere diverse a e b, perchè quando le due molecole sono in due celle diverse, si hanno due stati diversi secondo che esse sono nell'ordine ab o nell' ordine ba. Invece nelle nuove statistiche in cui si tiene conto della assoluta equivalenza delle due molecole esse sono state indicate entrambe con lo stesso simbolo a.

25. A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitzb. Preuss. Akad. Wiss., (1925), 3-14.Ricevuto 8 gennaio

26. Quando Einstein nel 1924-25 applica le idee di Bose al gas di molecole quantistico, affronta l’argomento ricorrendo ancora una volta alla teoria delle fluttuazioni: Per la fluttuazione quadratica media dell’energia dei fotoni vale: che ponendo: si scrive nella forma suggestiva: Einstein mostrò che questa formula descrive anche le fluttuazioni del gas di molecole quantistico, pur di ridefinire nella maniera naturale l’energia cinetica E ed il momento p delle molecole:

27. Ricordiamo il lavoro del 1909 sulle fluttuazioni della radiazione di cavità. Einstein riconobbe allora nel secondo termine dell’espressione: il contributo del familiare comportamento ondoso, e nel primo termine il contributo dell’inusuale e nuovo comportamento particellare, Si deve osservare, nel lavoro del 1925, il singolare scambio di ruolo dei due termini di cui è costituita la fluttuazione. Infatti nella espressione corrispondente per la fluttuazione quadratica media nel caso del gas molecolare quantistico: In forza di questa analogia Einstein fu portato ad “interpretare il secondo termine associando alle molecole del gas un fenomeno radiativo”, ed aggiunse: “Intendo approfondire questa interpretazione poiché penso che qui abbiamo a che fare con qualcosa di più di una semplice analogia”. è il secondo termine, di natura ondosa, ad essere nuovo ed inusuale, mentre il primo termine, che corrisponde al caso della statistica di Poisson, risulta essere quello familiare.

28. A. Einstein, “Quantentheorie des einatomige idealen Gases“ Berliner Berichte 1925, 3-14 (9 febb.1925) ricevuto 8 genn. ich glaube, dass es sich dabei um mehr als um eine blosse Analogie handelt. Wie einem materiellen Teilchen bzw. einem System von materiellen Teilchen ein (skalares) Wellenfeld zugeordnet werden kann, hat Hr. L. de Broglie in einer sehr beachtenswerten Schrift dargetan. Io penso che questa sia più di una semplice analogia. de Broglie ha mostrato in un lavoro molto importante come un campo d’onda (scalare) possa essere coordinato con una particella materiale o un sistema di particelle materiali

29. Il 16 novembre 1925 Schrödinger scrisse una lunga lettera al suo amico Alfred Landé riguardante il recente tentativo di Landé di ricondurre la interdipendenza statistica implicata dalla statistica di Einstein - Bose a un fenomeno di sovrapposizione: Mi fa molto piacere sentire che il tuo lavoro intende essere un “ritorno alla teoria delle onde”. Anch’io inclino molto a fare così. Recentemente sono stato profondamente coinvolto nello studio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie. E’ estremamente stimolante ma ciononostante alcune parti di essa sono molto dure da digerire. Ho tentato vanamente di farmi una raffigurazuione dell’onda di fase di un elettrone in un’orbita ellittica. I “raggi” approssimano quasi certamente delle ellissi kepleriane di uguale energia. Ciò tuttavia fornisce come fronti d’onda orribili “caustiche” o simili.

30. Dov’è l’equazione d’onda? Nel Novembre del 1925Peter Debye(allora all’ ETH di Zurigo)chiese a Schrödinger di presentare un seminario congiunto sulla tesi di de Broglie appena pubblicata; secondo Felix Bloch, dopo la presentazione: “Debye puntualizzò incidentalmente che giudicava questo modo di considerare le cose [quello di de Broglie] piuttosto puerile. Come studente di Sommerfeld aveva studiato che, per trattare propriamente le onde, era necessario avere un’equazione d’onda...” Peter Debye

31. Memorandum: H-atom Eigenschwingungen Notebook: Eigenwertproblem des Arom I; Starkeffect

33. h

34. Schrödinger nr numero quantico radiale, k numero quantico azimutale, entrambi numeri interi Sommerfeld

35. Atomo elettronico + Atomo pionico + +

36. Schroedinger prima comunicazione: 27 gennaio Derivazione dei livelli energetici dell’atomo di Idrogeno mediante l’introduzione di una equazione per la frequenza delle onde di de Broglie nell’atomo.Si suppone che l’energia sia legata al quadrato della frequenza Al momento sto combattendo con una nuova teoria atomica. Se solo sapessi più matematica! Sono molto ottimista su questa cosa e mi attendo, se solo sono capace di risolverla,che sarà molto bella. Io penso di poter specificare un sistema vibrante che abbia come autofrequenze le frequenze dei termini dell’idrogeno – e questo in maniera relativamente naturale, non con assunzioni ad hoc. Ma in realtà non si ottengono proprio le frequenze dei termini stessi, cioè non –R/n2, ma mc2/h –R/n2 (m è la massa dell’elettrone)…Se, diciamo: allora Spero di poterti riferire presto in maniera più dettagliata e comprensibile su questo argomento. Al presente devo studiare un po’ più matematica per poter dominare completamente il problema vibrazionale – una equazione differenziale lineare simile a quella di Bessel, ma meno nota. 27 dicembre, lettera a Willie Wien

40. ………….

43. Schroedinger seconda comunicazione: 23 febbraio Considerazione della superficie W=cost (W= funzione principale di Hamilton) che si muove alla maniera dell’ottica geometrica nello spazio delle configurazioni. Introduzione della equazione d’onda mediante l’assunzione che W sia proporzionale alla fase dell’onda nello spazio delle configurazioni. Applicazione alla molecola biatomica etc. Confronto delle condizione quantica con la teoria delle frange di Fresnel.

44. Derivazione dal formalismo Hamiltoniano

49. Schroedinger lavoro sul confronto: 18 marzo 1926 Verifica del fatto che gli elementi di matrice possono essere espressi sulla base delle autofunzioni dell’equazione d’onda. Asserzione dell’equivalenza della meccanica ondulatoria e della meccanica delle matrici mediante l’assunzione della dipendenza temporale degli elementi di matrice data dalla meccanica delle matrici. Critica dell’aspetto poco intuitivo della meccanica delle matrici.

50. Rapporto fra meccanica ondulatoria e meccanica delle matrici