1 / 44

Вероятность на ГИА

Вероятность на ГИА. Репкина Виктория Анатольевна Учитель математики МАОУ Сибирский лицей. Основные понятия. Достоверное событие – то, которое наступит обязательно Невозможное событие – событие которое не наступит никогда

kiora
Download Presentation

Вероятность на ГИА

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Вероятность на ГИА Репкина Виктория Анатольевна Учитель математики МАОУ Сибирский лицей

  2. Основные понятия Достоверное событие – то, которое наступит обязательно Невозможное событие – событие которое не наступит никогда Случайное событие – событие, которое может наступить или не наступить Несовместные события – два события, если в результате появление одного из них исключает появление другого

  3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события А при проведении некоторого испытания (опыта)называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу равновозможных между собой исходов данного опыта Р(А) =N(A)/N Р(А) – вероятность события А N(А) – число исходов, в результате которых наступает событие А N - общему числу равновозможных между собой исходов данного опыта

  4. Замечания Вероятность достоверного события 1 Вероятность невозможного события 0 Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий

  5. Классическая вероятностная схема Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует: 1. Найти число всех возможных исходов данного опыта (N) 2. Принять предположение о равновероятности всех этих исходов 3. Найти количество тех исходов опыта, в которых наступает событие А (N(А)) 4.Найти частное Р(А) =N(A)/N ,оно и будет равно вероятности события А

  6. Задача № 3.4.1 Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Света? Решение: 1. Число возможных исходов N = 5 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А (начнет игру Света) N(A) = 1 3. Вероятность Р = 1:5 = 0,2

  7. Задача № 3.4.2 Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру начинать будет мальчик. Решение: 1. Число возможных исходов N = 5 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(начнет игру мальчик) N(A) = 3 3. Вероятность Р = 3:5 = 0,6

  8. Задача № 3.4.5 В сборнике билетов по геометрии всего 36 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Площади». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете по геометрии школьнице Алисе не достанется вопрос по теме «Площади» Решение: 1. Число возможных исходов N = 36 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(Алисе не достанется вопрос по теме «Площади») N(A)=9 3. Вероятность Р(А) = 9:36= 0,25

  9. Задача № 3.4.7 В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по древней истории, а 11 – по средневековью, при этом ровно в 3 билетах встречаются вопросы и по древней истории, и по средневековью. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете по истории школьнику Диме не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью. Решение: 1. Число возможных исходов N = 50. 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(Диме не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью) N(A)=33 (9+11-3) 3. Вероятность Р(А) = 33:50= 0,66

  10. Задача № 3.4.8 На соревнования по метанию диска приехали 36 спортсменов, среди них 7 спортсмена из Голландии, 6 спортсменов из Испании, 5 – из Китая . Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что девятым будет выступать метатель из Испании. Решение: 1. Число возможных исходов N = 36 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выступает метатель из Испании) N(A)=6 3. Вероятность Р(А) = 6:36= 1/6

  11. Задача № 3.4.9 На конференцию приехали 7 ученых из Франции, 3 из Италии, 6 из России и 9 из Канады. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад итальянца. Решение: 1. Число возможных исходов N = 25 (7+3+6+9) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(доклад итальянца) N(A)=3 3. Вероятность Р(А) = 3:25= 0,12

  12. Задача №3.4.11 На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7 спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из Германии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать американец Джон Смит. Решение: 1. Число возможных исходов N = 20 (7+3+4+6) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выступление Джона Смита) N(A)=1 3. Вероятность Р(А) = 1:20= 0,05

  13. Задача № 3.4.14 Научная конференция по биологии проводится в 4 дня. Всего запланировано 45 докладов: в первый день 15 докладов, остальные распределены поровну между вторым, третьим и четвертым днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность, что доклад профессора Михайловского по позвоночным запланирован на второй день конференции. Решение: 1. Число возможных исходов N = 45. (45-15):3=по 10 докладов в каждый из следующих дней 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(доклад запланирован на второй день конференции) N(A)=10 3. Вероятность Р(А) = 10:45= 2/9

  14. Задача № 3.4.16 Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 106 шахматистов, среди которых 22 из России, в том числе Николай Трифонов. Найдите вероятность того, что в первом туре Николай Трифонов будет играть с шахматистом из России. Решение: 1. Число возможных исходов N = 105.(без Трифонова) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(Трифонов будет играть с шахматистом из России) N(A)=21 (без Трифонова) 3. Вероятность Р(А) = 21:105= 0,2

  15. Задача № 3.4.19 Найдите вероятность того, что при броске двух симметричных монет оба раза выпадет орел. Решение: 1. Возможные исходы: ОР; ОО; РР; РО. Значит, число возможных исходов N = 4 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выпадает ОО) N(A)=1 3. Вероятность Р = 1:4= 0,25

  16. Задача № 3.4.21 Найдите вероятность того, что при броске трех симметричных монет два раза выпадет орел, а один раз решка. Решение: 1. Возможные исходы: Значит, число возможных исходов N = 8 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выпадает 2 раза орел и 1 решка) N(A)=3 3. Вероятность Р(А) = 3:8= 0,375

  17. Задача № 3.4.22 Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 2 или 5. Решение: 1. Число возможных исходов N =6 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выпадение 2 или 5) N(A) = 2 3. Вероятность Р(А) = 2:6= 1/3

  18. Задача № 3.4.24 Оля и Вадим играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается ничья, если очков они выбросили поровну. Оля выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Вадим. Найдите вероятность того, что Вадим не проиграет. Решение: 1. Число возможных исходов N = 6 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выпадение 4; 5 или 6) N(A) = 3 3. Вероятность Р(А) = 3:6= 0,5

  19. Задача № 3.4.25 Оля, Вадим и Виталик играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается ничья, если очков они выбросили поровну. В сумме они выкинули 13 очков, причем Вадим с Виталиком выбросили поровну очков. Найдите вероятность того, что Оля выиграла у обоих мальчиков. Решение: Т. к. сумма очков 13 и двое выкинули поровну, то возможны варианты: 6; 6; 1 (Оля проиграла), 5;5;3 (Оля проиграла), 4; 4; 5 (Оля выиграла), получаем: 1. Число возможных исходов N = 3 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(Оля выиграла) N(A) = 1 3. Вероятность Р(А) = 1:3= 1/3

  20. Вероятность противоположного события Событие В называют противоположным событию А (В=Ᾱ), если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Для нахождения вероятности противоположного события следует из 1 вычесть вероятность самого события Р (Ᾱ)= 1-Р(А)

  21. Задача №3.4.6 В сборнике билетов по геометрии всего 40 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Углы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете по геометрии школьнику Косте не достанется вопроса по теме «Углы» Решение: | способ: 1. Число возможных исходов N = 40 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(Косте достанется вопрос по теме «Углы») N(A)=12 3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-12:40=0,7

  22. Задача №3.4.6 (продолжение) || способ: 1. 40-12=28 (количество билетов без темы «Углы») 2. Р(Ᾱ) = 28:40 =0,7

  23. Задача №3.4.12 В каждой партии из 500 лампочек в среднем 3 бракованные. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной. Решение: | способ: 1. Число возможных исходов N = 500 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(лампочка бракованная) N(A)=3 3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-3:500=0,994 || способ: 1. 500-3=497 (исправных лампочек) 2. Р(Ᾱ) = 497:500=0,994

  24. Задача № 3.4.13 В среднем из 300 гелевых ручек пишут 296. Найдите вероятность того, что взятая наугад ручка не будет писать. Решение: | способ: 1. Число возможных исходов N = 300 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(ручка будет писать) N(A)=296 3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-296:300=1/75 || способ: 1. 300-296=4 (ручки не пишут) 2. Р(Ᾱ) = 4:300=1/75

  25. Правило сложения Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

  26. Задача № 3.4.10 На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7 спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из Германии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать не мексиканец и не американец. Решение: 1.Число возможных исходов N = 20 (7+3+4+6) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(выступает швейцарец) N(A)=3 Число исходов опыта, в которых наступает событие В(выступает германец) N(В)=6 3. Вероятность Р(А) = 3/20; вероятность Р(В)=6/20 4. Р(А+В)= 3/20+6/20=0,45

  27. Задача № 3.4.15 Научная конференция по истории проводится в 4 дня так, что в каждый следующий день проводится в два раза меньше докладов, чем в предыдущий, а всего запланировано 60 докладов. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность, что доклад профессора Н. запланирован на первый или последний день. Решение: Найдем количество докладов запланированных в 1-ый и 4-ый день (с помощью уравнения): пусть х – докладов в 4 день, тогда в 3 день – 2х, во 2-ой – 4х, в 1-ый – 8х. Зная, что всего докладов 60, составим уравнение

  28. Решение задачи № 3.4.15 (продолжение) х+2х+4х+8х=60 х=4 4 доклада в 4-ый день, значит в 1-ый – 32 доклада Решение: 1.Число возможных исходов N = 60 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(доклад в 1-ый день) N(A)=32 Число исходов опыта, в которых наступает событие В(доклад в 4-ый день) N(В)=4 3. Вероятность Р(А) = 32/60; вероятность Р(В)=4/60 4. Р(А+В)= 32/60+4/60=0,6

  29. Задача № 3.4.17 Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 86 шахматистов, среди которых 14 из Венгрии, а 21 из России, в том числе Николай Трифонов. Найдите вероятность того, что в первом туре Николай Трифонов будет играть с шахматистом из России или из Венгрии. Решение: 1.Число возможных исходов N = 85 (без Трифонова) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А(игра с россиянином) N(A)=20 (без Трифонова) Число исходов опыта, в которых наступает событие В(игра с шахматистом из Венгрии) N(В)=14 3. Вероятность Р(А) = 20/85; вероятность Р(В)=14/85 4. Р(А+В)= 20/85+14/85=0,4

  30. Задача № 3.4.18 В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки. Решение: 1.Число возможных исходов N = 9 Число исходов опыта, в которых наступает событие А(первой выступает девушка) N(A)=4. Вероятность Р(А) = 4/9 2. Число возможных исходов (после выборки первого выступающего) N =8 Число исходов опыта, в которых наступает событие В(второй выступает девушка) N(В)=3. Вероятность Р(В)=3/8 3. Р(А+В)= 4/9+3/8=1/6

  31. Относительная частота Относительная частота – отношение частоты к общему числу данных в ряду.

  32. Задача № 3.4.3 В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке. Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер?

  33. Решение задачи № 3.4.3 Чтобы найти стрелка, относительная частота попаданий которого выше, нужно сравнить следующие дроби и выбрать наибольшую. Ответ: второй стрелок

  34. Задача № 3.4.4 В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке. Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер?

  35. Решение задачи № 3.4.4 Чтобы найти стрелка, относительная частота попаданий которого выше, нужно сравнить следующие дроби и выбрать наибольшую. Ответ: второй стрелок

  36. Схема Бернулли. Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называются «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность Рn(k), что при n таких повторений произойдет ровно «k» «успехов» Теорема Бернулли: Вероятность Рn(k) наступления ровно к успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится во формуле : где р – вероятность «успеха», q = 1-p – вероятность «не удачи» в отдельном испытании.

  37. Задача № 3.4.26 Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет все 5 раз. Решение: 1. «успех» р = 4/5; «неудача» q =1-4/5=1/5 2. Число повторений n=5; число «успехов» k=5 3.

  38. Задача № 3.4.28 Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза. Решение: 1. «успех» р = 4/5; «неудача» q =1-4/5=1/5 2. Число повторений n=5; число «успехов» k=4 3.

  39. Правило умножения Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число исходов испытания В.

  40. Задача № 3.4.20 Учительница по очереди вызывает школьников к доске. Найдите вероятность того, что она сначала вызвала Диму Спицина , а после него к доске пойдет Юля Белкина, если всего в классе 18 учеников. Решение: 1.Число возможных исходов N = 18 (для события А) Число исходов опыта, в которых наступает событие А(вызвали Диму Спицина) N(A)=1. Вероятность Р(А) = 1/18; 2. Число возможных исходов N = 17 (без Спицина) Число исходов опыта, в которых наступает событие В(вызвали Юлю Белкину) N(A)=1. Вероятность Р(А) = 1/17; 3. Вероятность Р(А) ∙ Р(В)= 1/18∙1/17=1/306

  41. Задача № 3.4.27 Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 6/7. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень первые три раза, а потом два раза промахнется. Решение: 1.«успех» р=6/7; «неудача» q=1/7 2. Событие А – попадание из трех – три раза; событие В – промах из двух - два раза. 3. Вероятность А : число повторений n = 3; число «успехов» k = 3

  42. Задача № 3.4.27 (продолжение) 4. Вероятность В : число повторений n = 2; число «успехов» k = 2 5.

  43. Литература: 1. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2013. Учебное пособие/ А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко,П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования.- М.: Интеллект-Центр, 2013.- 88 с. 2. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3 –е изд.- М.:Мнемозина, 2005.-112с.:ил. 3. Руководство к решению задач по теории вероятностей: учебное пособие/Е. Н. Некряч, Е. И. Подберезина; Томский политехнический университет.-Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012.- 216с.

  44. Спасибо за внимание!

More Related