Capitalização Composta

1. Capitalização Composta Taxas de Juros

2. Juro Composto • Cálculo do rendimento a Juros Compostos: • Montante; • Juros; • Capital; • Tempo; • Taxa de juros; • Equivalência em juros composto.

3. Juro Composto • O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros. • Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa de 10% ao ano.

4. Juro Composto

5. Juro Composto • Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial. 0 1 2 3 n-1 n j1 = P . i j2 = S1 . i j3 = S2 . i jn-1 = Sn-2 .i jn = Sn-1 . i S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i) S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2 S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3 Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n

6. Juro Composto • Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados 0 1 2 3 n-1 n Valor Futuro ou Montante Valor Inicial ou Principal P = S(1+i)-n S -J= S(1+i)-n J = S – S(1+i)-n J = S[1- (1+i)-n] S = P(1+i)n P+J = P(1+i)n J = P(1+i)n – P J = P[(1+i)n – 1]

7. Juro Composto • O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de: • Principal • Valor atual • Investimento, etc. 0 1 2 3 n-1 n P S P = S(1+i)-n S = P(1+i)n

8. Juro Composto • A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo. • Podendo ser constante ou variável ao longo dos período. 0 1 2 3 n-1 n P S = P(1+i)n S/P = (1+i)n i = (S/P)1/n -1

9. Juro Composto • Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: • Meses; • Bimestres; • Semestres; • Anos, etc S = P(1+i)n S/P = (1+i)n ln(S/P) = ln(1+i)n ln(S/P) = n.ln(1+i)

10. Juro Composto • Capitalização Contínua • Quando a taxa é expressa em um determinado período de tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua. • Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico.

11. Taxas de Juros • Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em: • Proporcionais; • Nominais • Equivalentes, e • Efetivas, real ou capitalizada.

12. Taxas de Juros • Proporcionais • A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear. Semestres 0 1 2 3 4 5 P S 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3 x 2 = 6% a.a.

13. Taxas de Juros • Nominais • Corresponde a taxa de um período inteiro como por exemplo: • A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional)

14. Taxas de Juros • Equivalentes • Na capitalização composta, todos os valores ao longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa. • A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo:

15. Taxas de Juros • Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual. Semestres 0 1 2 3 4 5 P S 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 10,25% a.a.

16. Taxas de Juros • Equivalentes • No exemplo anterior a diferença de valor e justamente pela acumulação dos juros na forma composta. • Quando o período da taxa é maior que o período se deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula: • iq = (1+it)q - 1 • Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula: • iq = (1 + it)1/q – 1 • iq = taxa que quero • it = taxa que tenho

17. Taxas de Juros • Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: • Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: • iq = taxa para o prazo que eu quero • it = taxa para o prazo que eu tenho • q = prazo que eu quero • t = prazo que eu tenho

18. Taxas de Juros • Vejamos alguns exemplos: • Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: • i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99% • Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: • i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23%

19. Taxas de Juros • Pontos importantes • Observar o enunciado da questão a ser resolvida. Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear. • Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente. • Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização.

20. Bibliografia • FARO, Clovis de. Fundamentos de MatemáticaFinanceira. São Paulo: Saraiva, 2006. • VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000.