Föreläsning 2

1. Föreläsning 2 • Tillväxt av kapital • Värdering av betalningsflöden • Framtida värde och nuvärde • Effektiv ränta • Annuiteter • Sparande och konsumtion

2. Värdering av kända betalningsflöden • Om man sätter in 1000:- på ett konto med 10% ränta hur mycket har man då om ett år? (FV = Framtida värde) • Och om två år? • Och om tre år? • Mer allmänt gäller att värdet efter n år är:

3. Enkel och kummulerad ränta Ränteintäckterna kan delas upp på räntan på insatt belopp, sk enkel ränta, och ränta på ränta, sk kummulerad ränta. • I exemplet är den enkla räntan 100 per år, dvs totalt 300. • Den kummulerade räntan är 331-300 = 31. Dvs kummulerad ränta på ränta är 10 + 21 = 31

4. Värdetillväxt över tiden FV av en tillgång med nuvärde PV och ränta i är

5. Nuvärdet (PV) • Vad är nuvärdet av att erhålla 1331 kronor om tre år - det framtida värdet av betalningströmmen i vårt exempel? Eftersom vi tidigare fann att så gäller naturligvis också att • I exemplet får vi, med i = 0,1:

6. I allmänhet gäller att där n vid rottecknet innebär n-te roten, dvs upphöjt till 1/n. Beräkning av räntan givet PV och FV • Antag att nollkuppongsobligation med ett nominellt värde på 1000 kronor och en löptid på två år kostar 907 kronor. Vad är räntan?

7. I allmänhet gäller att: “Payback period” • Antag att en investering idag kommer att resultera i en fyra gånger så stor utbetalning i framtiden. När måste denna utbetalning senast komma för att investeringen skall vara lönsam om räntan är 8%?

8. 72-regeln • Hur lång tid tar det innan kapitalet dubblas efter att man har satt in ett visst belopp på bankkontot? • Exempel 1: Om räntan är 8 procent tar det nio år att dubbla kapitalet (jfr. 1,089 = 1,9990) och ytterligare nio år innan det fyrdubblats. • Exempel 2: Antag att räntan i stället är 36% så att tiden blir två år. Jfr. 1,362 = 1,8496. Resultaten är bäst för i  8%.

9. Källa: Smith, W. The Rule of 72 and other Approximate Rules of Compound Interest, Parabola, 36 (1), 2000.

10. Effektiv ränta • Räntor brukar anges på årbasis. Kapitaliseringen, dvs när räntan läggs till kapitalet, är ofta mer frekvent. Detta innebär högre ränteintäkter på insättningar och högre ränteutgifter på lån än vid årlig kapitalisering. • Exempel: Antag att årsräntan för en 3-månader statskuldsväxel är 4 procent. Vilken är den effektiva räntan? Räntan under kvartalet är 3/12 * 4 procent, dvs 1 procent. Den effektiva räntan är då (1+0,1)4 - 1 = 0.0406, dvs 4,06%.

11. Effektiv ränta - formel • Effektiv ränta definieras som: • Exempel: Vad är den effektiva ränta på ett lån med 12 % ränta och månatlig kapitalisering?

12. Effektiv ränta • Vid en kontinuerlig kapitalisering ges effektiv ränta av: • I detta fall motsvaras 12 procents årsränta av en effektiv ränta på

13. Annuiteter • Exempel: Vad är FV av att spara 1000 kronor om året i tre år vid 10% ränta efter att det sista året löpt ut? Dvs vi erhåller ränta på den första insättingen under 3 år, den andra under två år och den tredje under 1år. Insättningar 1000 1000 1000 Ränta 100 210 331

14. Annuiteter: n perioder • Den allmänna formeln för beräkning av FV för en annuitet med beloppet k som löper n år är: Observera att den första betalningen sker omedelbart. • Vad är värdet av en evig annuitet på 1 krona om räntan är 1%? Värdet är oändligt stort

15. Härledning av FV-formel FV av en ström betalningar k under n perioder är, Multiplicera och dividera med (1+i) - 1 = i

16. Nuvärdet av en annuitet Exempel: Vad är nuvärdet av att erhålla 1000 i slutet av varje period under 2 perioder om räntan är 15%? • Nuvärdet av den första betalningen är • Nuvärdet av den andra betalningen är Nuvärdet av betalningsströmmen är alltså

17. Nuvärdet av en annuitet: n perioder Vad är nuvärdet om betalningsströmmen fortsätter under n perioder? • I analogi med 2-perioders exemplet ges nuvärdet av, • Detta kan vara lite knöligt att räkna ut när n är stort men nuvärdet kan också uttryckas som,

18. Härledning av formel Nuärdet av en ström betalningar k under n perioder är, Multiplicera och dividera med 1-1/(1+i) = i/(1+i) Om strömmen är oändlig är alltså PV = k/i

19. Sätt in värdena i formeln för PV för annuiteter och lös för k. Amortering av lån • Antag att vi skall betala av ett lån på 100.000 under 5 år med 5 lika stora inbetalningar (ränta + amortering). Räntan är 5 procent. Hur stora betalningar krävs?

20. Ojämna kassaflöden • Beräkning av FV eller PV när beloppen skiljer sig åt mellan perioderna gör enligt samma princip som tidigare. • Exempel: En investering på 70 nu ger oss 15, 30 och 40 under de tre följande åren. Antag att räntan är 10 procent. Är investeringen lönsam?

21. “Annuitet” med tillväxt • Vi kan tillämpa samma princip för att beräkna PV på en betalnings-ström med konstant tillväxt, t ex förväntade aktieutdelningar. • Om betalningarna k växer med g procent per år så är PV = k/(i-g).

22. Växelkurser och ränta • Exempel: En investering på 10.000 SEK avkastar 6.000 SEK under 5 år. En investering på 1.000 Euro ger 510 Euro per år under samma period. Antag att 10 SEK = 1 Euro och att rSEK= 6 % och rEuro= 4 %. Jämför investeringarna. • Regel: Betalningsström och ränta måste vara i samma valuta.

23. Realräntan ges av där p anger inflationen. Realräntan i exemplet är följaktligen 1,96 procent. Värdet av sparandet ges av (1.0196)35 1000 = 1973. Inflation • Vad är 1000 kronor sparade idag värda (i real köpkraft) om 35 år? Antag att den nominella räntan är 4 procent och inflationen 2 procent. • Reala flöden diskonteras med realränta • Nominella flöden diskonteras med nominell ränta

24. Livscykelhypotesen • Inkomster och utgifter är ojämnt fördelade över livscykeln samtidigt som de flesta föredrar en någorlunda jämn konsumtion. Genom lån och sparande kan dock konsumtionen smetas ut över livet. Källa: Diagram från kursbokshemsidan.

25. Pensionsparande I • Exempel: En 35-åring skall börja pensionsspara med målsättningen att få ut 80 procent av inkomsten vid pensioneringen om 30 år. Antag att realinkomsten är oförändrad och lika med 300.000, förväntad livslängd är 80 år och att räntan är 2 procent realt. (i) Hur stort måste pensionskapitalet vara vid pensioneringens början? (ii) Hur mycket behövs sparas för att uppnå detta? Målsättningen var här var i termer av inkomst snarare än konsumtion.

26. Pensionsparande II • Exempel: Antag att 35-åringen vill ha samma konsumtion hela tiden. Källa: Diagram från kursbokshemsidan.

27. Konstant konsumtion I • Den intertemporala budgetrestriktionen för vår individ är där Y är inkomst och C konsumtion. Vi löser för C.

28. Konstant konsumtion II • Om individen har initiala tillgångar W eller tänker sig att lämna ett arv B så skrivs den intertemporala budgetrestriktionen som följer där T anger återstående livslängd och R år till pension. • Obligatoriska socialförsäkringar påverkar ej den intertemporala budgeten om försäkringen ger samma ränta som individen själv kan få.

29. Skatteffekter av pensionsparande • Ett incitament att pensionsspara är att sparandet sker när man har hög marginalskatt och uttaget när man har låg marginalskatt. • Antag att marginalskatten är oförändrad - är det då någon ide att skjuta upp beskattningen medelst pensionsparande? • Exempel: Antag att en individ har 30 år kvar till pension och att skatten är 30 procent (på inkomst och kapital) och räntan 8 procent. Pensionssparande: En insättning på 1000 kronor ger efter 30 år: 1000(1,08)30(1-0,30) = 7.044. Vanligt sparande: En insättning på 1000 kronor ger efter 30 år: (1-0,30)1000 (1+(1-0,30)0,08)30 = 3.589.