Jesper RYDÉN Tekn dr i matematisk statistik Matematiska institutionen Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se

1. Matematik och musik En föreläsning i kursen Matematiken i vår omvärld Jesper RYDÉN Tekn dr i matematisk statistik Matematiska institutionen Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se

2. Föreläsningens innehåll: • Matematik för att beskriva ”ljud” (och i förlängningen, musik). • Musikinstrument: hur kan matematik beskriva dessa? • Kompositioner: Hur har tonsättare utnyttjat matematiska strukturer i sitt konstnärsskap?

3. Matematiska begrepp Exempel på begrepp som kommer användas/beröras: • logaritmer • bråk • sinusfunktioner • exponentialfunktioner • differentialekvationer

4. Citat av Helmholtz: Mathematics and Music, the most sharply contrasted fields of intellectual activity which one can discover, and yet bound together … Hermann von Helmholtz (1821-1894)

5. Kvantitativ analys? Tonsättare Lyssnare Noter Ljudförlopp Musiker

6. Vad menas med LJUD? Ljud motsvaras fysikaliskt av lufttrycksvariationer. • Trumhinnevibrationer • En TON: regelbundna variationer, periodiska förlopp • Buller, brus: operiodiska förlopp

7. Periodiska förlopp Amplitud Frekvens Period Sinusformad kurva

8. Ljudutbredning LONGITUDINELL vågutbredning: Luftpartiklar knuffas fram och åter i utbredningsriktningen. • SFÄRISK utbredning: punktformig, lika bra åt alla håll (jfr. glödlampa) • PLAN utbredning: på tillräckligt stort avstånd från ljudalstraren (ex. trånga rör, blåsinstrument)

9. Ljudstyrkor i praktiken

10. ”Ljudstyrka”? Ljudtryck mäts i Pa (N/m²) • Ljudtrycksnivå mäts i dB relativt referensen 20 µPa • Ljudintensitet mäts i Watt per kvadratmeter, W/m² • Ljudintensitetsnivå mäts i dB relativt referensen 1 pW/m² Värdena för ljudtrycksnivå och ljudintensitetsnivå sammanfaller under normala förhållanden (tryck, temperatur, plan eller sfärisk våg etc). Man talar därför bara ofta om ljudnivå. Ännu allmännare: ljudstyrka (ljudnivå, ljudintensitet och ljudtryck).

11. Ljudtryck och dB

12. Spektrum m.m. • Varje periodisk vågform kan betraktas som uppbyggd av en serie enkla sinusfunktioner med givna frekvenser, amplituder och faser • Matematisk disciplin: Fourieranalys • Olika musikinstrument genererar olika spektra JBJ Fourier (1768-1850)

13. Fourierutveckling

14. Superposition

15. Deltoner • Deltoner bidrar till klangfärg • De flesta musikinstrument: heltalsmultiplar av lägsta frekvensen • Harmoniskt spektrum • Oharmoniskt spektrum (vissa slaginstrument)

16. Samma ton, olika instrument Stämgaffel Violin Oboe Tid

17. Spektrum Klarinett, låg ton:

18. Spektrum Klarinett, hög ton:

19. Svävningar • Två toner ljuder med nästan samma frekvens • Medfas och motfas • Matematiskt begrepp: Superposition

20. Svävningar Fenomenet används i orgelstämmorna ”Voix céleste” (himmelsk röst) och ”Unda maris” (havsvåg)

21. Intervaller och frekvenser Ett intervall motsvaras av ett frekvensförhållande! Naturtonserien till tonen A

22. Resonans Mekaniska system som fungerar som resonatorer: massa, fjädring, dämpning Exempel: bil, lokal, flöjt, violin, … Resonator svänger helst på vissa frekvenser, resonansfrekvenserna. Differentialekvation

23. Resonans och dämpning • Dämpning beror på förluster • Reflektioner • Läckage (ex. rörändar) • Exempel, små förluster: pianosträng; större förluster: fiolsträng (pizz.) Pizzicatospel

24. Hur klassificera dämpning? • Hur hastigt dör en ton vid resonansfrekvens ut? • Hur stor frekvensändring behövs på ömse sidor om resonansfrekvensen för att ljudnivån i resonatorn ska sjunka 3 dB?

25. Resonanskurvor

26. Ansats och avklingning

27. Ansats och avklingning B betecknar bandbredden e är Eulers tal: 2,71828…

28. Efterklangstid Den tid det tar för ljudet att avta 60 dB.

29. Begrepp från rumsakustik • Reflektioner ger upphov till resonanser • Eko: det reflekterade ljudet uppfattas som i tiden skilt ifrån det ursprungliga (100 ms isär i tiden) • Efterklang: reflekterande ljudet når lyssnaren hastigare än efter 100 ms • Absorption: ljudenergi förloras vid reflektionerna (materialberoende) • Luftabsorption: liten, men tilltar med stigande frekvens

30. Efterklang: rumsvolym och frekvens Sabines formel:

31. Efterklangsradie • På långt avstånd från ljudkällan dominerar efterklangsljudet • Nära ljudkällan dominerar direktljudet • Vid ett visst avstånd – efterklangsradien – är direktljud och efterklangsljud lika starka. Rumsvolym Efterklangsradie Efterklangstid

32. Stränginstrument • System med flera resonatorer (strängen själv samt resonans- eller klanglåda) • Anslagna strängar (piano) • Knäppta strängar (gitarr, harpa) • Stråkinstrument (violin, viola, cello, kontrabas)

33. Svängande sträng Resonansfrekvenser: (Första grunderna, Marin Mersenne (1588-1648))

34. Bakgrund: Partiella differentialekvationer ”Vågekvationen”: Allmän lösning: Randvillkor, fasta ändpunkter:

35. Vibrerande sträng

36. Totalt sluten pipa Snarare modell för ett rum än ett musikinstrument

37. Pipa, öppen i ena änden

38. Öppen pipa

39. Pukor, trummor Vågekvationen Polär form (cirkulärt membran) Allmän lösning: Besselfunktion

40. Kombinationstoner • Frekvenser som uppfattas av hörseln • Ligger lägre än de reella tonerna som alstrar dem • Tillämpning: Stora orgelpipor. Spara plats, material, luftåtgång (och pengar). • 32-fotsstämma: djupaste frekvens ca 16 Hz

41. Täckt 32-fotspipa First Presbyterian Church, Ithaca NY, USA

42. Bourdon 32’ Katarina kyrka, Stockholm

43. Fibonaccital Leonardo av Pisa (Fibonacci), 1200-talet. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 43, 55, 89, 144, . . . Talserien erhålls ur

44. Gyllene snittet Relaterat till Fibonaccital via ett gränsvärde:

45. Gyllene snittet Geometriskt förhållande:

46. Béla Bartók Ungersk tonsättare (1881-1945) Utnyttjar gyllene snittet (GS) och Fibonaccital (FT) som kompositionstekniker

47. Kompositionsteknik • Harmonik • Intervallstruktur • Formbyggnad

48. GS: Intervall

49. GS: Form Huvudtema (43,5 takter långt) Sats III ur Sonat för två pianon och slagverk

50. FS: Form Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 1 Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 3