Institut za nuklearne nauke Vinča

1. Institut za nuklearne nauke Vinča Solitoni formirani na spoju dve lokalno-spregnute 2D optičke rešetke M. D. Petrović, G. Gligorić, A. Maluckov, Lj. Hadžievski i B.A. Malomed

2. UVOD • ANALITIČKI PRISTUP – varijacioni račun, oblasti postojanja, stabilnost • NUMERIČKI PRORAČUN – osobine solitonskih kompleksa, poređenje sa drugim sistemima rešetki koje smo do sada razmatrali • ZAKLJUČAK

3. Uvod Šematski prikaz dve identične 2D rešetke, linearno spregnute preko centralnog čvora (n,m=0) sa konstantom sprezanja ε

4. Stacionarne jednačine:

5. Analitički pristup Varijacioni račun:

6. Euler-Lagrange jednačine za amplitude A i B:

7. Postojanje tri različita kompleksa lokalizovanih modova: Simetrični , čija oblast postojanja je limitirana sa kritičnom vrednošću parametra sprezanja Antisimetrični , koji postoje u celom parametarskom prostoru Asimetrični , čija oblast postojanja je ograničena kritičnom vrednošću parametra sprezanja

8. Stabilnost solitona predviđenih varijacionim računom smo procenili pomoću Vakhitov-Kolokolov-og kriterijuma: , gde smo snagu računali kao • Za stabilna simetrična rešenja: • Za stabilna antisimetrična rešenja: • Za asimetrična rešenja dobijamo da snaga P ne zavisi od parametra sprezanja ε

9. Zavisnost amplituda A i B simetričnih, antisimetričnih i asimetričnih solitona (crna, plava i crvena boja, respektivno) Dijagram oblasti postojanja i stabilnosti simetričnih, antisimetričnih i asimetričnih solitonskih kompleksa u parametarskom prostoru

10. Numerički pristup • numerički je rešavana stacionarna jednačina primenom algoritma zasnovanog na metodi Povela. • stabilnost stacionarnih modova je određivana linearnom analizom stabilnosti • svojstvene vrednosti malih perturbacija su numerički računate primenjujući Runge-Kutta algoritam šestog reda na vremenski zavisnu jednačinu.

11. Simetrična rešenja (SyS): • linearna analiza je pokazala da stabilni SyS kompleksi nastaju na ε=εe i menjaju stabilnost na kritičnoj vrednosti εc kada se pojavljuju nestabilni SyS kompleksi. • nestabilni SyS kompleksi sa malim snagama u prisustvu malih perturbacija ponašaju se kao simetrični briderisa malim maksimalni amplitudama i velikom širinom. • Symetrični kompleksi visoke snage su veoma robusni sistemi. Evolucija eksponencijalno perturbovanih nestabilnih SyS kompleksa male snage

12. Asimetrična rešenja (AS): • dve grane AS rešenja se formiraju destabilizacijom SyS grana, i ona su stabilna po linearnoj analizi stabilnosti • malo perturbovani AS kompleksi ostaju jako lokalizovani i “dišu”. • nastanak stabilnih AS modova je povezan sa bifurkacijom spontanog narušavanja simetrije i pokazuje se da je u pitanju viljuškasta bifurkacija superkritičnog tipa. “disanje” AS kompleksa u različitim trenucima vremena. Grafici u prvom i drugom redu odgovaraju različitim komponentama posmatranih kompleksa

13. Antisimetrična rešenja (AnS): • linearna analiza stabilnosti pokazuje oscilatornu nestabilnost AnS kompleksa za male vrednosti ε i proizvoljno μ, i eksponencijalnu nestabilnost za velike vrednosti parametra sprezanja • AnS kompleksi nisu značajno pogođeni malim perturbacijama, a glavni razlog njihove robusnosti je snažna lokalizacija energije u centralnom čvoru i to se dešava u celoj oblasti postojanja AnS kompleksa. Dinamika perturbovanih eksponencijalno nestabilnih AnS solitona u različitim trenucima vremena

14. simetrični kompleksi u sistemu sa dve nespregnute rešetke su generalno stabilani – sprezanje menja stabilnost • izrazita robusnost simetričnih kompleksa podseća na robusnost on-site solitona koji su jako ustrmljeni – ‘pinovani’ na jednom elementu uniformne 2D rešetke sa kubnom nelinearnošću. Ovakvo ponašanje je povezano sa kvazi-kolapsom kod 2D rešetke sa kubnom nelinearnošću • viljuškasta bifurkacija superkritičnog tipa je slična superkritičnoj bifurkaciji nađenoj kod dve on-site spregnute uniformne 1D rešetke

15. Zaključak • varijacioni račun i numerički proračuni su korišćeni da bi se pronašle oblasti postojanja u parametarskom prostoru (µ,ε), kao i stabilnost za simetrične, antisimetrične i asimetrične solitonske komplekse • oba prilaza su pokazala da antisimetrični kompleksi solitona postoje u celom parametarskom prostoru, dok se simetirčni i asimetrični modovi mogu naći samo ispod određene kritične vrednosti parametra • stabilnost solitonskih kompleksa je procenjena numerički (kriterijum spektralne stabilnosti) • numeričke simulacije pokazuju da su nestabilni simetrični i antisimetrični kompleksi solitona sa velikom snagom jako robusni u prisustvu malih perturbacija

16. HVALA NA PAŽNJI