Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits

1. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits Cours/TD d'une heure, en demi promo, avril 2007 Jean-Paul Stromboni Questions clés de cette séance : • pourquoi avons-nous besoin de filtres dans ce cours • comment décrire l’action d’un filtre sur un signal • quelle est l’action d’un filtre sur le spectre d’un signal • comment relier équation d’un filtre et réponse harmonique • peut-on déduire l’équation d’un filtre de la réponse fréquentielle souhaitée ? • … Savez vous déjà répondre à ces questions ?

2. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits • Pourquoi avons nous présenté la notion de spectre ? • Parce le principe de compression que nous étudions dans ce cours procède en découpant le spectre du signal à compresser • Comment calculer le spectre d’un signal ? • En utilisant la transformée de Fourier discrète (TFD) : on note xn le signal à compresser (on le note en donnant son nième échantillon), nous avons vu que le spectre de xn vaut : • Comment d’ailleurs les ordinateurs calculent ils le spectre ? • Ils utilisent l’algorithme de FFT qui calcule seulement N points du spectre également espacés sur l’axe des fréquences • Et pourquoi avons-nous besoin de filtres ? • Parce que pour découper le spectre d’un signal en bandes de fréquences, on utilise des filtres si possible rectangulaires • Comment programmer un filtre ? • Pour filtrer un signal d’entrée noté xn, il faut calculer les valeurs successives du signal filtré noté ici yn, en utilisant une équation aux différences (EaD), de la forme générale : • L’équation ci-dessus est dite non-récursive si les ak sont nuls • le filtre est alors à réponse impulsionnelle finie (FIR), de durée MTe, • la longueur de filtre est le nombre de termes du second membre, ici M.

3. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits • Quelle est l’action d’un filtre sur le spectre du signal filtré ? • Un filtre multiplie le spectre du signal d’entrée par sa réponse harmonique, le résultat obtenu est le spectre du signal filtré : • est donc la réponse harmonique du filtre, c’est une quantité complexe fonction de la fréquence f. • Exercice : comment concevoir un jeu de filtres qui découpent le spectre d’un signal xn en quatre bandes égales, entre 0 et fe/2 • Comment déduire la fonction de transfert en z d’un filtre à partir de son équation aux différences ? • On utilise la transformée en z dont voici la définition ci-dessous(z est une variable complexe dont la valeur n’est pas précisée): • On fait la transformée en z de l’équation aux différences en appliquant la règle suivante pour les décalage d’indices :si alors • L’équation du filtre se transforme en produit de la forme : Y(z)=H(z)X(z), H(z) est la fonction de transfert en z du filtre. • Exercices : calcul de fonctions de transfert en z, calcul de transformées en z simples (impulsion, échelon)

4. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits • Comment obtenir la réponse harmonique d’un filtre à partir de son équation aux différences ? • On passe de Tz à TFD par un simple changement de variables : • Préciser le changement de variable : • Avec ce changement de variables, la relation précédemment établie Y(z)=H(z)X(z) devient : • D’où la réponse à la question posée : • En exercice : on pourra donner l’expression de la réponse harmonique de plusieurs filtres

5. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits • Comment trouver l’équation d’un filtre dont on donne la réponse harmonique ? • On utilise la TFD inverse • On développe le produit de convolution yn • On voit que yn est la sortie d’une équation aux différences non récursive • Il y a cependant des conditions de mise en œuvre, pour pouvoir programmer ce filtre : • Le nombre de termes hn non nuls doit rester fini, on ne pourra pas calculer une infinité de termes • Les valeurs de hn doivent rester réelles, il suffit pour cela que la réponse harmonique choisie soit une fonction paire de la fréquence. • En conclusion, et à ces deux contraintes près : • exercice: calculer hn pour les filtres suivants:

6. Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits • Comment calculer la réponse harmonique à partir de la réponse impulsionnelle hn ? • Si xn est une impulsion, on a • Et yn est la réponse impulsionnelle du filtre • Or, le spectre de xn vaut • Le spectre du signal filtré yn vaut donc • Conclusion : la réponse harmonique d’un filtre est la transformée de Fourier de sa réponse impulsionnelle • Exercices : péciser l’expression de la réponse harmonique des filtres non récursifs