Eq. di Schr ö dinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche

1. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Eq. di Schrödinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche ricerco le soluzioni nella forma: le variabili angolari compaiono solo in un termine percio’ ossia dividendo per e moltiplicando per si ottiene :

2. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli riarrangiando i termini: dato che il primo termine, che dipende solo da r, e’ indipendente dal secondo, che dipende solamente daq e j , affinche’ l’equazione sia sempre verificata bisogna che i due termini siano entrambi costanti, posto che la costante valga l(l+1) , dove l e’ un intero, si dovra’ avere e parte radiale parte angolare per quanto riguarda la parte angolare si ha: tenteremo di nuovo di operare sulla parte angolare separando le variabili, ossia ipotizzando una soluzione del tipo sostituendo si ottiene dividendo per si ha poiche il primo termine, che dipende solo da q, e’ indipendente dal secondo, che dipende solamente daj, sara’ possibile utilizzare le derivate normali: quindi affinche’ l’equazione sia sempre verificata bisogna che i due termini siano entrambi costanti, e posto che la costante assuma il valore m2 , dove m e’ un intero, si dovra’ avere e

3. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli le soluzioni dell’equazione sono e ma di solito si ingloba la costante come fattore moltiplicativo nella funzione G (q) e sempre per convenzione si assume come soluzione dato che l’angolo azimutale j ha periodicita’ di 2p edato che consentendo poi ad m di assumere anche valori negativi dopo un avanzamento di 2p si torna allo stesso punto dello spazio imporremo la condizione che ossia vale a dire cio’ comporta che il numero quantico m debba in effetti essere un intero e, limitandosi a questo contesto, m non avrebbe limite superiore nello specifico nota bene: questa non e’ una supposizione scontata a priori infatti esistono grandezze fisiche che non ritornano nella stessa identica condizione dopo una rotazione di 360 gradi. Es. spinori o come esempio classico il cameriere ed il piatto che ruota quindi per essere corretti occorrerebbe moltiplicare per una fase tipo e id ossia affermare che le soluzioni a ossia della sono dove i Plm sono le funzioni associate di Legendre definite come mentre i Pl(x) sono i polinomi di Legendre che e’ consuetudine definire, usando la formula di Rodrigues, come da notare come : • affinche’ la formulazione dei polinomi di Legendre nella forma di Rodrigues abbia senso il numero quindi quantico l deve essere un numero intero positivo o nullo • dalla definizione delle funzioni associate di Legendre risulta che deve essere m intero ed |m| ≤ l quindi per ogni valore assegnato di l sono possibili ( 2l+1) valori per m con

4. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Parte radiale dove si e’passati dalle derivate parziali a quelle normali visto che R dipende solo dalla variabile radiale r o anche, riarrangiando i termini : equazione che puo’ essere semplificata se poniamo: da questa condizione ne deriva che e applicando regola di derivazione del prodotto di funzioni otteniamo inoltre dunque la diviene ossia infine, semplificando il termine r2

5. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli e, riarrangiando i termini si ottiene la equazione che diviene equivalente alla equazione di Shroedinger indipendente dal tempo in una dimensione ossia alla a patto di sostituire al potenziale V un potenziale efficace Veff dove allontanare dall’origine del centro di forza il termine e’ detto centrifugo in quanto tende ad Atomo idrogenoide : potenziale coulombiano le soluzioni all’equazione come conseguenza affinche’ si abbia convergenza dei polinomi di Laguerre sono i polinomi di Laguerre: il numero quantico l puo’ assumere al massimo il valore n-1

6. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli quindi per un generico valore del numero quantico n il numero quantico l puo’ assumere gli n valori valori possibili per il numero quantico m ma per ciascun valore di l vi sono e la degenerazione di un livello energetico En associato al numero quantico n sara’ pari a quindi degenerazione = 1 E2  degenerazione = 4 E3  degenerazione = 9 E1 tenuto conto dello spin degli elettroni e del principio di esclusione di Pauli cio’ spiega la capienza in elettroni dei vari livelli energetici dell’atomo idrogenoide E1  degenerazione = 1  numero di elettroni possibili = 2 E2  degenerazione = 4  numero di elettroni possibili = 8 E3  degenerazione = 9  numero di elettroni possibili = 18

7. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli in conclusione le funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno, propriamente normalizzate, sono dove gli sono i polinomi associati di Laguerre e sono i polinomi di Laguerre le sono le armoniche sferiche ed e’ il raggio di Bohr

8. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli partendo soltanto dalla degenerazioni dei livelli energetici e dal principio di esclusione di Pauli si puo’ tentare di costruire la tavola periodica degli elementi idrogeno 1 elettrone n = 1 l = 0 m = 0 s = -1/2 n = 1 l = 0 m = 0 s = -1/2 elio 2 elettroni n = 1 l = 0 m = 0 s = +1/2 n = 1 l = 0 m = 0 s = -1/2 litio 3 elettroni n = 1 l = 0 m = 0 s = +1/2 n = 2 l = 0 s = +1/2 m = 0 ma se n = 2 sia l = 0 che l =1 sono stati possibili ed hanno la stessa energia la risposta e’ che non si puo’ ignorare la repulsione coulombiana tra gli elettroni quindi perche’ non occupare prima lo stato con l = 1 ? la presenza del termine centrifugo fa si’ che il valore del raggio medio ad n fissato aumenti in funzione del numero quantico l o, detto in altri termini, fa si’ che gli elettroni tendano in media ad allontanarsi maggiormente dal centro di forza all’aumentare del numero quantico l a parita’ di numero quantico n piu’ lontano dal nucleo e’ l’elettrone piu’ assume rilevanza l’effetto di schermatura o “screening” degli elettroni piu’ interni che fa si’ che piu’ e’ lontano l’elettrone minore carica efficace percepisce dunque tenendo conto della repulsione degli elettroni lo stato con l = 0 e’ quello piu’ strettamente legato al nucleo, ossia e’ quello che ha l’energia minore e l’energia, a parita’ di n, aumenta all’aumentare di l

9. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Determinare nell’atomo di idrogeno quale sia il valore piu’ probabile di r negli stati caratterizzati dai numeri quantici n e dal massimo numero quantico orbitale possibile nell’ atomo di idrogeno P(r) e’ la densita’ di probabilita’ radiale ossia P(r)dr e’ la probabilita’ di trovare l’elettrone ad una distanza compresa tra r e r + dr dal nucleo. il numero quantico l puo’ assumere al massimo valore n-1, quindi lmax= n - 1 dove e’ il raggio di Bohr eme’ la “massa ridotta” del sistema protone elettrone quindi e

10. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli si ha ed raccogliendo a fattor comune escludendo le soluzioni a zero e all’ infinito resta da risolvere la equazione che ha per soluzione : la probabilita’ e’ massima in corrispondenza di quegli rn tali per cui : ossia in corrispondenza delle orbite dell’atomo di Borh