Kvanttimekaniikka : Luento 9

1. Kvanttimekaniikka: Luento 9 MartikainenJani-Petri

2. Viimeksi • Harmoninenoskillaattori • Luomis- jahävitysoperaattorit Vihje: Feynman lectures online http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html Quizz Tänään • Sirontapotentiaalista • Tunneloituminen • Tunnelointi- jaheijastustodennäköisyys

3. Sirontapotentiaalista • Potentiaaliaskel: mitätapahtuu kun hiukkanenosuusiihen? • Tilateivätvälttämättä ole sidottujaeliaaltofunktioeihäviääärettömyydessä • Hiukkasellaenergia E. • MikäSchrödingerinyhtälönratkaisu on? V

4. Sirontapotentiaalista • Kussakinalueessamissäpotentiaali on vakio. Ratkaisunmuototunnetaan. Jokoeksponenttifunktioita tai oskilloivia (eksponenttejatokinekin) • Oletetaanensin, että E>V • Kun x<0: • Kun x>0: ikx-termitoikeallemeneviä , -ikx-termitvasemmalle

5. Sirontapotentiaalista • Aaltofunktiontulee olla jatkuvakaikkiallajatässä se ongelmakohta on erityisesti x=0 • Samoinensimmäisenderivaatanoltavajatkuva • Liikaatuntemattomia: alkuehdossahiukkanentuleevasemmalta

6. Virrantiheys • Kun tunnemmeaaltofunktionvoimmelaskeasitävastaavanvirrantiheyden(taululla) • Sisääntulevalleosalle • Aikajärkevää: muotoanopeus*tiheys • Heijastuneelleosalle • Läpimenneelleosalle

7. Sirontapotentiaalista • yhtälöt • Jostasaamme • Nytvoimmelaskeaheijastuvanvirrantiheydensuhteensisääntulevaan (A1 putoaasilloinpois) jasaammeheijastuskertoimen

8. Sirontapotentiaalista • Samallatavallasaammeläpäisykertoimeksi • Huomaa: eiainaläpäisevaikkaenergiaaskeltakorkeampi!

9. Sirontapotentiaalista • Entäjos E<V? • TällöinSchrödingerinyhtälönratkaisupotentiaalinkohdallaantaisiimaginäärisen k-vektorin. • Toisaaltaaaltofunktiontäytyyhävitäkaukanaoikealla…siispä • Jatkuvuusjaderivaatanjatkuvuus x=0:ssa… Reaalinenfunktio x>0:ssa  virrantiheyshäviää

10. Potentiaalivallivälillä –L…L Alue III Alue II Alue I Huom: muutannotaationvastaamaansitämitämeilläoliaikaisemmin

11. Potentiaalivalli • Alueessa I: • Alueessa II: • Alueessa III: • Jos voimmelaskeaetuvakiot, saammeheijastus- jaläpäisykertoimet Huomaatuotermi!

12. Potentiaalivalli • Nytvaaditaantaasjatkuvuutta (jaderivaattojenjatkuvuutta) • Kiinnostavatpaikatovat x=L ja x=-L • Kaikenkaikkiaanneljäyhtälöäjakoskakatsommeasioitasuhteessa A1:een saammeratkaisun (ks. kirjasta) • Jos E>V? laskumeneesamallatavallapaitsialueessa II on oltava

13. Tunneloituminen • Tässämeillä on esimerkkitunneloitumisesta! • Hiukkasellaolinollastapoikkeavatodennäköisyyssiirtyäesteentoisellepuolelleolkoonkin, ettäklassisestiliikeyhtälöteivätolisisitämahdollistaneet.

14. Potentiaalivalli: E>V ?? Häh? Maksimeja, kun energiakasvaa? “Seisovataallot” vaikuttavatläpäisyyn! Toisaaltapotentiaalikaivossa

15. Sirontapotentiaalista • Perusidea on osattava. Jokutehtävänäistäasioistavoitullatenttiin

16. Tunneloituminen: demo • http://phet.colorado.edu/en/simulation/quantum-tunneling

17. Tunneloituminen: real world Aurinko: fuusionmahdollisuus STM SQUID

18. Yleistä • Huom: tässäesitetyllätavallavoiratkoaSchrödingerinyhtälöitätilanteissamissäpotentiaali on vakioerialueissa. • Rajapinnoissasovelletaanreunaehtoja, niistäsaadaanyhtälöryhmiäja ne voidaanratkaista. • Ratkaistavienyhtälöidenmääräkasvaarajapintojenmukana. • Numeerinenratkaisupianhelpompi

19. Yleistä • Esim. Äärellinenpotentiaalikaivo on suhteellisenhelpporatkaistaominaistiloille. Katsokirjasta tai netistä…hiukankäsinkirjoitetuissamuistiinpanoissa • Olennainenero: kun haemmesidottujatiloja (aaltofunktiopainuunollaanäärettömyydessä), eienergiavoi olla mitätahansa • …yhtälöryhmändeterminantin oltavanolla tästäsaamme sidotutominaistilatjaniiden diskreetitenergiat Numeerinenesimerkki

20. Tänään • Sirontapotentiaalista • Tunneloituminen • Tunnelointi- jaheijastustodennäköisyys