METODE DE REZOLVARE A PROBLEME LOR DE CONCURENŢĂ ŞI COLINIARITATE

1. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE CONCURENŢĂ ŞI COLINIARITATE Prof. Magdalena Tomşa Şc. cu cls. I-VIII Dumbrăviţa

2. Analizând conţinutul manualelor de gimnaziu se constată că problemele de concurenţăşi coliniaritate sunt prezentate destul de succint şi în număr destul de redus. Problemele de concurenţăşi coliniaritate, dar mai ales cele de concurenţă sunt probleme dificile, probleme în care cerinţele sunt uşor de intuit, dar a căror rezolvare şi demonstrare riguroasă necesită raţionamente precise şi o gamă variată de tehnici specifice.

3. În ciclul liceal problemele de concurenţăşi coliniaritate pot fi abordate fie utilizând cunoştinţele de mecanică, fie de calcul vectorial, fie apelând la cunoştinţele de geometrie analitică. Studiul geometriei analitice în clasa a XI-a oferă posibilitatea de a rezolva analitic astfel de probleme, oferind soluţii de o mare frumuseţe şi eleganţă.

4. Problema deciziei privind alegerea metodei de rezolvare constituie o chestiune de inspiraţie şi perspicacitate. Este cunoscut faptul că, uneori, soluţiile sintetice ale unor probleme de concurenţăşi coliniaritate sunt complicate şi dificil de realizat,în comparaţie cu soluţia analitică sau vectorialăşi reciproc. Realizând această prezentare am dorit să evidenţiez faptul că, la nivele diferite de învăţământ, problemele de concurenţăşi coliniaritate pot fi tratate utilizând strategii şi tehnici diferite.

5. I.1. TEOREMA LUI CEVA Fie ABC un triunghi şi fie punctele A’BC, B’CA, C’ AB. Dacă dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente atunci: Demonstraţie: Fie {P} = AA’  BB’  CC’ Aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA’B şi punctele coliniare C, P, C’.

6. Obţinem Acum aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA’C şi punctele coliniare B, B’, P. Rezultă: Înmulţind cele două relaţii obţinem

7. 1 1 2 1 2 1 Proiecţiile unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile triunghiului sunt coliniare. I.2. DREAPTA LUI SIMSON OBSERVAŢIE: Dacă perpendiculara din M pe latura (BC) retaie cercul circumscris triunghiului în punctul A”, atunci dreapta AA” este paralelă cu dreapta lui Simson a punctului M. Demonstratie AA”MACM (din patrulaterul inscriptibil MAA”C), ACM B’A’M (din patrulaterul inscriptibil B’A’CM). RezultăAA”M B’A’M, adică dreapta AA” este paralelă cu dreapta Simson a punctului M în raport cu triunghiul ABC. Patrulaterele AB’MC’, MB’A’C sunt inscriptibile. <B’1≡ <M1 <B’2≡ <M2 <M2=90°-<C1 <M1=90°-<A1 <A1 ≡<C1 => <M1 ≡ <M2 => <B’1 ≡ <B’2 ceea ce arată ca punctele A’, B’, C’ sunt situate pe o aceeaşi dreaptă numita dreapta lui Simson a punctului M in raport cu triunghiul ABC. Demonstraţie :

8. I.3TEOREMA LUI MENELAUS ÎN SPAŢIU Patru puncte, L, M, N, P ce aparţin laturilor [AB], [BC], [CD], [DA] ale tetraedrului [ABCD] sunt coplanare dacăşi numai dacă este îndeplinită relaţia :

9. Reciproc, fie L, M, N, P ce aparţin laturilor tetraedrului astfel încât este îndeplinită relaţia (1). Se arată ca L, M, N, P sunt coplanare. Fie planul determinat de L, M, P, plan ce intersectează CD in N’. Există relaţia: Folosind relaţia (1) se obţine că deci N = N’, deoarece punctele N si N’ sunt simultan în înteriorul său în exteriorul segmentului [DC]. Demonstraţie: Daca LP si MN sunt paralele cu BD, relaţia (1) se verifică din teorema lui Thales aplicatăîn triunghiurile ABD şi BCD. Dacă LP şi MN nu sunt paralele cu BD, fie F punctul lor de intersecţie (care este situat pe BD). Se aplică teorema lui Menelaus pentru triunghiurile ABD, BDC, pentru trasversalele L, P, F respectiv M, N, F şi se obţine: Inmulţind cele două relaţii se obţine (1).

10. DEFINITIE: Se numeşte bimediana a unui tetraedrusegmentul determinat de mijloacele a două muchii opuse. TEOREMA Într-un tetraedru oarecare cele trei bimediane sunt concurente. Demonstraţie În tetraedrul ABCD considerăm bimedianele [QP], [MN],[RS].

11. Fie M, N, P, Q, R, S mijloacele muchiilor [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] respectiv [BD]. În triunghiurile BAD şi BCD care au latura comună [BD] sunt puse în evidenţă liniile mijlocii [PN] şi [MQ], care corespund laturii comune. Deci: MQ║NP şi MQ = NP Rezultă că patrulaterul, MPNQ este paralelogram Analog se arată că MRNS şi QRPS sunt paralelograme şi mai mult cele trei bimediane [RS], [QP], [MN] ale tetraedrului sunt diagonale în aceste paralelograme : [RS] şi [QP] în paralelogramul RQSP [RS] şi [MN] în paralelogramul RNSM [MN] şi [PQ] în paralelogramul MPNQ. Cum diagonalele unui paralelogram sunt concurente şi se înjumătăţesc, cele trei bimediane [KL], [QP], [MN] ale tetraedrului ABCD sunt concurente, punctul de concurenţă este notat cu G – care este mijlocul fiecărei bimediane numit centrul de greutate al tetraedrului. .

12. II.1. METODE PENTRU DEMONSTRAREA PROBLEMELOR DE COLINIARITATE

13. COLINIARITATEA punctelor M, N, P, .. se poate demonstra: II.1.1.Cu ajutorul dreptelor confundate : O primă grupă de probleme de coliniaritate este aceea care are la baza axioma lui Euclid:Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelăşi numai una la acea dreaptă.

14. II.1.2. Cu ajutorul unghiurilor adiacente suplementare Arătăm ca m(MQP) + m(PQN) = 180şi atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

15. II.1.3. Cu ajutorul a două drepte perpendiculare pe o altă dreaptăîn acelaşi punct al ei O alta grupă de probleme de coliniaritate este aceea în care coliniaritatea se demonstrează folosindu-ne de faptul ca “dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce pe acea dreaptă, o perpendicularăşi numai una“.

16. II.1.4. O grupă de probleme este aceea în care coliniaritatea este implicată in urmatoarea situaţie: Fie P, Q, R trei puncte date şi XY o dreaptă ce conţine punctul Q. Punctele P, Q, R sunt coliniare dacăXQP YQR. Problema poate fi privită ca o reciprocă a teoremei: ”Unghiurile opuse la varf sunt congruente”.

17. II.1.5.O altă metodă care implică coliniaritatea este dată de congruenţa urmatoare: QMN QMP, N şi P fiind de aceeaşi parte a dreptei QM, rezultă că M, N, P, sunt coliniare.

18. II.1.6. Coliniaritatea punctelor M, N, P poate fi implicatăşi prin identificarea unei drepte care să conţină punctele M, N, P. Punctele M, N, P (sau mai multe) sunt coliniare dacă există o dreaptă bine determinată care să le conţină.

19. II.1.7.O altă metodă care implică coliniaritatea a trei puncte M, N, P constăîn a redefini un punct ce figureazăîn condiţia de coliniaritate, adică a arata că unul din cele trei puncte, aparţine dreptei determinate de celelalte două (astfel: M aparţine lui NP implică M, N, P coliniare).

20. II.1.8. Problemele de coliniaritate mai pot fi demonstrate folosindu-ne de reciproca teoremei lui Menelaus.

21. II.1.9. Cu ajutorul transformărilor geometrice ( simetrie, translaţie,rotaţie) Dacă A’ =s(A), B’ =s(B), C’ =s(C) si A, B, C coliniare atunci şi A’, B’ , C’ sunt coliniare.

22. II.1.10 Cu ajutorul distanţelor Arătând ca fiind de aceaşi parte a unei drepte sunt la aceeaşi distanţă faţă de acea dreaptă. • Daca A, B, C(d,A si d(A, d)= d(B, d)= d(C, d) atunci A, B, C sunt coliniare.

23. II.1.11 Arătând că : AB + BC = AC • Dacă AB, BC, AC sunt lungimi de segmente şi AB + BC = AC atunci B [AC] si A, B, C sunt coliniare.

24. II.1.12 Analitic, arătând că coordonatele lor verifică ecuaţia dreptei. • Fie A( xA ;yA ), B( xB ;yB), C( xC ;yC ) trei puncte şi d o dreaptă de ecuaţie ax+by+c=0.

25. PROBLEMĂ 1 Fie paralelogramul ABCD (AB  CD) şi punctele M AB, N AD astfel încât [BM]  [AD] şi [DN]  [AB]. Să se demonstreze că C, N, M sunt coliniare. Soluţie: ABCD paralelogram, deci AB || DC şi [AB]  [DC], iar AD || BC şi [AD]  [BC]. Din [AB]  [DC] şi [AB]  [DN]  [DN]  [DC] Δ NDC isoscel, asadarDNC NCD (1) Dar AM = BM – AB, AN = AD – ND si ţinând seama de relaţiile din problema, avem [AM]  [AN] Δ AMN isoscel, AMN ANM (2) Fie MB || CD si MC secantăDCM BMC, unghiuri alterne interne (3) Din (1), (2), (3) CND ANM, deci C, N, M sunt coliniare.

26. PROBLEMĂ 2 Fie CC' înălţimea triunghiului ABC. Cercul de diametru AB intersectează laturile BC şi AC in Q şi P. Dacă BP  AQ = {M}, să se arate că punctele M, C, C' sunt coliniare. Soluţie: AB este diametrul cercului, rezultă: m(APB) = 90, deci BP  AC(1) m(AQB) = 90, deci AQ  CB(2) Din (1) si (2) rezultă că AQ şi BP sunt înălţimi in ΔABC. Cum {M} = BP  AQ  M este ortocentrul ΔABC. Dar CC' fiind inalţime, rezultă că M  (CC') , deci C, M, C' sunt coliniare.

27. II.2. METODE PENTRU DEMONSTRAREA PROBLEMELORDE CONCURENŢĂ

28. II.2.1.O prima metodă de rezolvare a problemelor de concurenţă este reducerea lor la probleme de coliniaritate.

29. II.2.2. Pentru a demonstra concurenţa a două sau mai multe drepte putem să ne folosim de definiţia dreptelor concurente, adică să arătam că există un punct comun dreptelor.

30. II.2.3. O altă metodă de demonstrare a concurenţei a trei drepte constăîn a arăta că punctul de intersecţie a două drepte aparţine şi celei de a treia drepte.

31. II.2.4.Pentru a demonstra concurenţa a trei drepte putem să ne folosim şi de teoremele referitoare la concurenţa liniilor importante în triunghi. Această metodă constăîn a găsi dreptele respective ca linii importante în triunghi.

32. II.2.5.O altă metodă de demonstrare a concurenţei se bazează pe reciproca teoremei lui Ceva.

33. II.2.6.Concurenţa se poate demonstra şi analitic : arătând că un sistem de două ecuaţii de gradul I cu două necunoscute este compatibil determinat (are soluţie unică).

34. II.2.7.O altă metodă de demonstrare a concurenţei este cu ajutorul ariilor, arătând că se intersectează două câte douăşi aria poligonului obţinut este egală cu zero. AMNP = 0 => M = N = P => dreptele sunt concurente.

35. II.2.8.Concurenţa dreptelor se poate demonstra şi cu ajutorul mijlocului unui segment. Dacă M [AB], [AM]≡[MB] M [CD], [CM] ≡[MD] , atunci rezultă că AB∩CD={M} , adică dreptele AB şi CD sunt concurente.

36. PROBLEMĂ 3 Se dă triunghiul ABC isoscel (AB = AC). O semidreaptă interioară unghiului B, cu originea in B intersecteazăînălţimea AD în E şi perpendiculara în C pe BC în F. Dacă G este mijlocul lui CF, să se demonstreze că dreptele BG, DF, EC sunt concurente. Soluţie: În triunghiul isoscel ABC , [AB]  [AC], înălţimea AD este mediană  [BD]  [DC](1) deci D este mijlocul lui [BC]. Din AD  BC, CF  BC si E  (AD)  DE || CF(2) Din (1) şi (2)  DE linie mijlocie în triunghiul BCF  [BE]  [EF], deci E este mijlocul lui [BF]. Punctele D, E şi G fiind mijloacele laturilor ΔBCF  BG, DF şi CE sunt mediane in acest triunghi  BG, DF si CE sunt concurente, BG  DF  CE = {M}.

37. PROBLEMĂ 4 Fie ABCD un paralelogram şi M un punct pe BC. Paralele prin C la AB intersectează pe DA în P, iar pe DM în N. Arătaţi că dreptele DC, AN şi PM sunt concurente. Fie ABCD un paralelogram astfel încât AC || BD şi AD || BC. Din AB || CP şi BC || AP  ABCP paralelogram şi [AP]  [BC](1) Din ABCD paralelogram  [AD]  [BC] (2) Din (1) şi (2)  [DA]  [AP](3) Din MC || DP (4) Înmulţind relaţia (4) cu Înmulţind relaţia (5) cu şi ţinând seama de relaţia (3) obţinem: DC, AN şi PM sunt concurente, conform reciprocei lui Ceva. (5)