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Mecánica de Maquinaria II

Mecánica de Maquinaria II. Clase 2 Ing. Eduardo Orcés Octubre 19 / 2010. TEMAS. Dinámica de maquinaria Cinética de partículas Fuerzas de inercia Método de superposición de fuerzas Sistemas dinámicos equivalentes. Dinámica de Maquinaria.

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Mecánica de Maquinaria II

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  1. Mecánica de Maquinaria II Clase 2 Ing. Eduardo Orcés Octubre 19/2010

  2. TEMAS • Dinámica de maquinaria • Cinética de partículas • Fuerzas de inercia • Método de superposición de fuerzas • Sistemas dinámicos equivalentes

  3. Dinámica de Maquinaria • Analizar el efecto de las fuerzas en la operación de las máquinas • Análisis Estático: Velocidades bajas (ω<500 rpm). Sólo se consideran pesos, fuerzas motrices y de fricción. • Análisis Dinámico: Velocidades altas (ω>1000 rpm). Considerar fuerzas de inercia principalmente. Ing. Eduardo Orcés

  4. Análisis Cinemático (Velocidades,Aceleraciones) Consideraciones de tiempos y movimientos Estimar Masas, M.de I., Radios de Giro,etc. ? Masas = 0 Calcular Fuerzas Calcular Esfuerzos Dimensionar para Resistencia, Rigidez, Frecuencia Natural, etc. Análisis Dinámico en el Diseño Mecánico Análisis Estático Análisis Dinámico Ing. Eduardo Orcés

  5. Cinética • Los problemas de dinámica son de dos tipos: 1. Problema Directo (‘Cinetostática’): Dadas las posiciones, velocidades y aceleraciones de las partículas, encontrar las fuerzas requeridas para producir el movimiento. Esto requiere resolver un sistema de ecuaciones algebraicas. 2. Problema Inverso (‘Respuesta Dinámica’): Dadas las fuerzas aplicadas, determinar el movimiento del sistema. Esto requiere integrar las ecuaciones diferenciales del movimiento para obtener las posiciones, velocidades y aceleraciones. Ing. Eduardo Orcés

  6. Cinética de Partículas • En 1D, hay 3 casos directamente integrables: 1. F=cte., entonces a=cte., v=vo+at, x=xo+vot+½at2 (M.U.V.) 2. F=F(t), mdv(t)/dt = F(t)  v=vo+(1/m)∫F(t)dt (Cant.Mov.) x=xo+vot+(1/m)∫∫F(t)dtdt’ 3. F=F(x), mdv(x)/dx = F(x)  ∫F(x)dx = ½m(v2-vo2) (Energía)  v(x) t=to+∫dx/v(x) (Despejar x(t)) Ing. Eduardo Orcés

  7. Movimiento Relativo: • En el sistema inercial de referencia XY, la ecuación del movimiento es: • Para un observador en el sistema de referencia móvil xy, la ecuación del movimiento es: • Los términos entre paréntesis son las ‘fuerzas de inercia’ que aparecen cuando el sistema de referencia es acelerado (no es ‘inercial’). Ing. Eduardo Orcés

  8. Ejemplo: ¿Qué fuerza hay que hacer para empujar la masa m hacia el centro de la plataforma con una vxy = 10 pies/s () y axy= 5 pies/s2 ()? Notar que si la plataforma no rotara (ω=0), la fuerza requerida tendría otra dirección y sería mucho más pequeña (¿Cuánto?) Ing. Eduardo Orcés

  9. Fuerzas de Inercia • Son las fuerzas que se requieren para acelerar los miembros (‘rígidos’) de un mecanismo venciendo la inercia que oponen éstos a ser movidos. • Se las determina a partir de las Leyes de Newton: ΣF = m aG ΣMG = IG α Ing. Eduardo Orcés

  10. 2ª Ley de Newton: Ing. Eduardo Orcés

  11. Principio de D’Alembert (‘Equilibrio Dinámico’): • Las fuerzas resultantes inversas – maG , - IGα son las fuerzas de inercia. • Sus sentidos son siempre opuestos a los de las aceleraciones aG y α. Ing. Eduardo Orcés

  12. Línea de acción de la fuerza de inercia: La fuerza de inercia Fi = - maG, tiene una línea de acción paralela y de sentido contrario a aG, desplazada una distancia h del C.G., de tal manera que produzca un par de sentido contrario a α. Ing. Eduardo Orcés

  13. Ejemplo: Determine las fuerzas requeridas para vencer la inercia en el mecanismo ranurado mostrado. Ing. Eduardo Orcés

  14. Cálculo de velocidades: • Del triángulo de velocidades: Ing. Eduardo Orcés

  15. Cálculo de aceleraciones: • Del polígono de aceleraciones: Ing. Eduardo Orcés

  16. Cálculo de fuerzas de inercia: • Asumimos: m2 = m3 = 1 kg, IG2 = IG3 = 1 kg.m2 • Del diagrama de aceleraciones se obtiene las aceleraciones de los centros de masa de los eslabones: aG2 = 1273/2 = 636.5 mm/s2 @ 45° aG3n = 3600/2 = 1800 mm/s2← aG3t = 7200/2 = 3600 mm/s2↓ • Fuerzas y pares de inercia: Fi2 = (1)(636.5 x 10-3) = 0.64 N @ 225° Fi3n = (1)(1800 x 10-3) = 1.8 N → Fi3t = (1)(3600 x 10-3) = 3.6 N ↑ Ti2 = 0 Ti3 = (1)(32) = 32 N.m (s.a.h.) Ing. Eduardo Orcés

  17. Equilibrio dinámico: • En el eslabón 3: h3 = 32/3.6 = 8.9 m (→) • En el eslabón2: Ing. Eduardo Orcés

  18. Principio de Superposición: • El principio de superposición de fuerzas establece que el efecto neto de varias fuerzas en un sistema es la combinación de los efectos de cada fuerza individual. • Un mecanismo con varias fuerzas aplicadas, puede ser analizado considerando una sola fuerza a la vez. Luego los resultados de cada caso individual pueden ser sumados vectorialmente (o ‘superpuestos’) para obtener el resultado total. • En general, el principio de superposición es aplicable solo a sistemas lineales. Por lo tanto, este principio solo es válido para sistemas donde se desprecia la fricción y otros efectos no-lineales. Ing. Eduardo Orcés

  19. Ejemplo: El mecanismo mostrado se usa para bajar y retraer el tren de aterrizaje de un avión pequeño. El ensamblaje (eslabón 4) que porta la rueda, pesa 100 lb, con C.G. en el punto G4. El radio de giro del ensamblaje ha sido medido experimentalmente y su valor es 1.2 pies. El eslabón motriz 2 pesa 5 lb y rota (s.a.h.) a una velocidad constante de 3 rad/s. La biela de conexión pesa 3 lb. Determine gráficamente las fuerzas que actúan en todos los eslabones, y el par motor requerido en el eslabón 2. • rAB= 1.77 pies rCD= 2.33 pies rBC= 3.0 pies • Cálculo de velocidades: Ing. Eduardo Orcés

  20. Cálculo de aceleraciones: • Del polígono de aceleraciones: Ing. Eduardo Orcés

  21. Fuerzas de inercia: Ing. Eduardo Orcés

  22. Fuerzas totales: • El peso y la fuerza de inercia del eslabón 4 son mucho mayores que las fuerzas que actúan en los otros eslabones. Por lo tanto se desprecian las fuerzas que actúan en los eslabones 2 y 3. • Para hallar las reacciones a las cargas Fi4y W4, se aplica el principio de superposición. Ing. Eduardo Orcés

  23. Equilibrio dinámico por superposición: • El problema total se descompone en dos sub-problemas como se muestra en la figura. Se resuelve cada uno individualmente, y luego se suman vectorialmente los resultados parciales. Ing. Eduardo Orcés

  24. Equilibrio dinámico por superposición (Sub-problema 1): • Del DCL del eslabón 4 se obtiene: F’41 = 40 lb @ 105° F’43 = 27 lb @ 218° • Del DCL del eslabón 2 se obtiene: T ’12= 44.6 lb-p (s.h.) Ing. Eduardo Orcés

  25. Equilibrio dinámico por superposición (Sub-problema 2): • Del DCL del eslabón 4 se obtiene: F’’41 = 81.3 lb @ 122° F’’43 = 52.5 lb @ 38° • Del DCL del eslabón 2 se obtiene: T’’12= 86.7 lb-p (s.a.h.) Ing. Eduardo Orcés

  26. Equilibrio dinámico por superposición (Problema total): • Obtenemos las reacciones totales para el eslabón 4, sumando vectorialmente los resultados de los sub-problemas 1 y 2. Los resultados son: F41 = 120.5 lb @ 116°, F43 = 25.5 lb @ 38°. • El resto de reacciones se obtienen de manera similar. T12 = 42.1 lb-p (s.a.h.) Ing. Eduardo Orcés

  27. Ejercicio:El mecanismo mostrado forma parte de una perforadora automática de cuero, la cual opera con una rapidez de 20 perforaciones por minuto. El elemento punzonador tiene una masa de 1.2 kg y tiene una fuerza resistente hacia arriba de 16 N aplicada a él. La manivela y biela de conexión tienen masas de 0.35 y 0.75 kg, respectivamente. La manivela rota en sentido antihorario. El coeficiente de fricción entre el punzón y las guías se estima en 0.15. En la posición mostrada, determine el par requerido para impulsar el mecanismo y las reacciones en las articulaciones. • Resp: T12 = 3.80 N mm (s.h.) F34h= 0.19 N (→), F34v= 3.13 N (↑) F32h= 0.19 N (←), F32v= 4.30 N (↓) F21h= 0.19 N (←), F21v= 7.75 N (↓) Ing. Eduardo Orcés

  28. Ejemplo:Para el mecanismo mostrado, hallar las fuerzas en los cojinetes, el torque requerido para accionar el eslabón 2, y las fuerzas trepidatorias (o de sacudimiento). Ing. Eduardo Orcés

  29. Calculamos las reacciones para cada fuerza de inercia por separado. Ing. Eduardo Orcés

  30. Reacciones totales: Ing. Eduardo Orcés

  31. Ejemplo: Analice el mecanismo mostrado, usando el método de superposición de las fuerzas de inercia. • Datos cinemáticos: ag2 = 0 ag3 = 27.9 m/s2 ag4 = 19.1 m/s2 α3 = 241 rad/s2(SAH) α4 = 129 rad/s2 (SH) Ing. Eduardo Orcés

  32. Ing. Eduardo Orcés

  33. Ing. Eduardo Orcés

  34. Ejemplo:Analizar el mecanismo de la pala por el método gráfico. Datos: ω2 = 200 rad/s (SAH) L2 = 3” L3 = 8” L4 = 6” Ing. Eduardo Orcés

  35. θ2 = 150º: ma3 = 168.2 lb ma4 = 69.1 lb Iα3 = 139.8 lb-plg (SH) Iα4 = 82.68 lb-plg (SAH) Ing. Eduardo Orcés

  36. θ2 = 270º: ma3 = 179 lb No se ha incluido el efecto de la fuerza de inercia del eslabón 4. Ing. Eduardo Orcés

  37. Diagrama de torque versus posición angular del eslabón de entrada Ing. Eduardo Orcés

  38. Ejemplo:Hallar las fuerzas de sacudimiento producidas en el mecanismo de cizalla voladora. Datos: ω2 = 50 rad/s (SAH) I3 = 6.38 slug-pie2 I4 = 25.0 slug-pie2 m3 = 1.83 slug m4 = 2.66 slug Ing. Eduardo Orcés

  39. Análisis para θ2 = 150º Ing. Eduardo Orcés

  40. Análisis para θ2 = 60º Ing. Eduardo Orcés

  41. Fuerzas de sacudimiento en función de la rotación Ing. Eduardo Orcés

  42. Sistemas Dinámicos Equivalentes • Se desea reemplazar el movimiento plano de un cuerpo rígido por el de dos masas puntuales m1 y m2, apropiadamente localizadas. Ing. Eduardo Orcés

  43. Como la fuerza y el par resultante de los dos sistemas deben ser iguales, estos deben cumplir las siguientes condiciones: 1. m = m1 + m2 2. m1h1 = m2h2 3. I = m1h12 + m2h22 Ing. Eduardo Orcés

  44. De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: 4. • Substituyendo en la ecuación (3) se obtiene: 5.mh1h2 = I, ó h1h2 = kG2 Ing. Eduardo Orcés

  45. Hay 3 ecuaciones y 4 parámetros a determinar, por lo que generalmente se escoge una de las hi(es decir, se escoge la posición de una masa), y se determina la otra a partir de (5). • Finalmente, se calcula los valores de las mi de la ecuación (4). Ing. Eduardo Orcés

  46. Por ejemplo, en el mecanismo biela-manivela de un motor de C.I. se pone m1 en el pistón y se calcula la posición de m2. (Notar que m2 está en el centro de percusióncon respecto a m1, y viceversa para m1). Ing. Eduardo Orcés

  47. Sin embargo, para simplificar el cálculo de a2 se coloca m2 en el punto B. Al hacer esto, se comete un error en el cálculo del par de inercia igual a: -m(kG2 – h1h2)α También habrá un error en el cálculo de F12. Ambos errores son pequeños para las aplicaciones usuales en que el punto B está relativamente cerca de G. • Esta descomposición en dos masas equivalentes es útil en los cálculos de fuerzas para balanceamiento dinámico. Ing. Eduardo Orcés

  48. Tareas • Leer las siguientes secciones del libro de Norton: - Cap. 10, Fundamentos de dinámica, Secs.10.0 a 10.14 - Cap. 11, Análisis de fuerzas dinámicas, Secs. 11.0 a 11.3 • Resolver ejercicios de la Clase 2

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