Graphes k -partis et conception de circuits VLSI

1. Graphes k-partis et conception de circuits VLSI Pierre Fouilhoux Maitre de Conférences Université Pierre et Marie Curie - LIP6 Directeur: A. Ridha Mahjoub Université Blaise Pascal - LIMOS Ecole Doctorale Sciences pour l’Ingénieur

2. Optimisation Combinatoire Trouver un meilleur élément dans un ensemble fini valué

3. Optimisation Combinatoire Placement d’émetteurs hertziens

4. Optimisation Combinatoire Placement d’émetteurs hertziens

5. Optimisation Combinatoire Problème du Voyageur de commerce

6. Optimisation Combinatoire Problème du Voyageur de commerce

7. Composant Réseau Pointsterminaux Optimisation Combinatoire Conception de circuits intégrés (VLSI)

8. Optimisation Combinatoire Conception de circuits intégrés (VLSI)

9. T G T G A A T C T C Optimisation Combinatoire Reconstruction du génome

10. T G A T C Théorie des Graphes Optimisation Combinatoire Recherche Opérationnelle

11. T G A T C Optimisation Combinatoire Stable dans un graphe = Sommets isolés Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

12. T G A T C Optimisation Combinatoire Stable dans un graphe Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

13. T G A T C Optimisation Combinatoire k-partition dans un graphe Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

14. T G A T C Optimisation Combinatoire Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

15. T G C A T C Optimisation Combinatoire bipartition dans un graphe (k=2) Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

16. T G C A T C Optimisation Combinatoire bipartition dans un graphe (k=2) Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

17. T G A T C Optimisation Combinatoire Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

18. T G A T C PB(G)=conv { xW | WV, (W,E(W)) est biparti } Optimisation Combinatoire Programmation mathématique Approches polyédrales Recherche Opérationnelle Théorie des Graphes

19. T T G G A A 2 haplotypes T T C C Polymorphisme génétique SNP : Single Nucleotide Polymorphism T A Reconstituer les 2 haplotypes et les SNP ATCGATGCATGAATGCATGCA ATCGATGGATGTATGCAAGCA Assemblage SNP d’haplotypes Molécule d’ADN Organismes diploïdes

20. S2 S3 S1 f1 ATCGATGCATGA f2TCGATGGATGAAT f3 ATGCATGTATGCAA f4 ATGAATGCATGCA f5CATGCA f1 ATCGATGCATGA f2 TCGATGGATGAAT f3 ATGCATGTATGCAA f4 ATGAATGCATGCA f5 CATGCA Fragments fi H2 H1 SNP sj f4 f5 f1 ATCGATGCATGA f2TCGATGGATGAAT f3 ATGCATGTATGCAA f4 ATGAATGCATGCA f5CATGCA Assemblage SNP d’haplotypes Détection des SNP f1 f2 f3 Objectif Reconstituer les deux haplotypes

21. S2 S3 S1 f2 f3 f1 f2 f5 f4 f3 Haplotype 1 fi f1 fj Haplotype 2 f4 f5 Assemblage SNP d’haplotypes Enlèvement minimal de fragments est équivalent au f1 ATCGATGCATGA f2TCGATGGATGAAT f3 ATGCATGTATGCAA f4 ATGAATGCATGCA f5CATGCA Problème de bipartisation de graphe Lippert, Schwartz, Lancia, Istrail (2001)

22. v2 v1 v3 v10 v9 v4 v6 v5 v8 v7 Résolution informatique du problème de bipartisation

23. v2 v1 v3 v10 v9 v4 v6 v5 v8 v7 Résolution informatique du problème de bipartisation

24. v2 v1 v3 1 conservé vi 0 ôté v10 v9 v4 v6 v5 v8 v7 Résolution informatique du problème de bipartisation v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

25. 1 conservé vi C 0 ôté Ce n’est pas une solution Résolution informatique du problème de bipartisation v2 v1 v3 v10 v9 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v4 v6 v5 v8 v7

26. 1 conservé vi 0 ôté C’est une solution Résolution informatique du problème de bipartisation v2 v1 v3 v10 v9 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v4 v6 v5 v8 v7

27. n sommets 2n=2x2x…x2 solutions à énumérer n fois Résolution informatique du problème de bipartisation Une première idée: Enumération de toutes les solutions

28. Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes Formulation en un programme linéaire en nombres entiers Soit G=(V,E) un graphe cun vecteur-poids sur les sommets de V. Pour BV, on pose

29. v2 v3 v1 Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)

30. v2 v3 v1 Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0)

31. v2 v3 v1 Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0)

32. v2 v3 v1 Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0)

33. PB(G)=conv { xW | WV, (W,E(W)) est biparti } Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes

34. La classe de problème la plus célèbre est la Classe NP (Non-Deterministic Polynomial) C’est la classe des problèmes dont on peut facilement savoir si une solution quelconque est valide ou non valide. Complexité des problèmes Est-ce que ce problème de bipartisation est difficile ou non? On dit que ces problèmes sont faciles ou polynomiaux dans P et les autres problèmes sont donc dans Non-P On ne sait pas dire si de nombreux problèmes célèbres sont dans P ou dans Non-P P=NP ?

35. Croisement Problème de Via Minimization Circuit électronique Ensemble de composants avec un ou plusieurs points terminaux reliés par des pistes rassemblées en réseaux. Croisement Deux pistes de réseaux différents qui se croisent doivent être affectées à des couches différentes dans le but d’éviter les connexions interdites.

36. Problème de Via Minimization Une affectation valide est une affectation des pistes sur les couches de manière à ce que deux pistes de réseaux différents qui se croisent, soient sur des couches différentes. Via Trou à percer pour connecter deux pistes d’un même réseau. Fil surcouche A B

37. Problème de Via Minimization Le problème de Via Minimization contraint Déterminer une affectation valide des segments de pistes sur les couches avec un nombre minimum de viassans déplacer les pistes.

38. Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C

39. Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C

40. Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C

41. Problème de Via Minimization Le problème de Via Minimization sur 2 couches Le problème du sous-graphe biparti induit est équivalent au

42. Temps de calcul 7min50 nb coupes 7551 328 vias Problème de Via Minimization 88 réseaux 1695 croisements nb sommets 6579

43. Problème de Via Minimization 729 réseaux 73166 croisements nb sommets 291993 nb coupes 10481 Temps de calcul 4h05 2089 vias

44. Conclusion Modélisation d’un problème de séquençage des génomes diploïdes Modélisation du problème de Via Minimization Etude polyédrale du problème de bipartisation de graphe Elaboration de logiciels de résolution pour le problème de génomique et d’électronique.