Matematikkens Videnskabsteori i Gymnasiet

1. Matematikkens Videnskabsteori i Gymnasiet 7. September 2010 Gl. Hellerup Gymnasium Terese M. O. Nielsen Roskilde Katedralskole

2. Matematikkens Videnskabsteori • Matematikkens videnskabsteori som forskningsfelt og i gymnasiet • To niveauer af beskrivelse: udefra og indefra • Traditionel opbygning af matematisk teori • Axiom, definition, sætning, formodning, eksempel • Matematikkens metoder • Oplæg til diskussion

3. Matematikkens Videnskabsteori Matematikkens filosofi som forskningsfelt Hvad er matematik – matematikkens identitet: • Hvad er matematikkens objekter? (Fysiske, mentale, kulturskabte …?) • Hvordan opnår vi viden i matematik (Sanse-erfaring, selv-indsigt, logik, intuition om abstrakte objekter …?)

4. Matematikkens videnskabsteori Fra læreplanen i Matematik (A) ”Faglige mål Eleverne skal kunne – demonstrere viden om fagets identitet og metoder” Fra læreplanen i AT ”Faglige mål Eleverne skal kunne – vurdere de forskellige fags og faglige metoders muligheder og begrænsninger i forhold til den konkrete sag – demonstrere indsigt i videnskabelig tankegang og gøre sig elementære videnskabsteoretiske overvejelser i forhold til den konkrete sag. … Synopsen skal indeholde – diskussion af, hvilke materialer, metoder og teorier der er relevante i arbejdet med underspørgsmålene”

5. Identitet og metoder To niveauer af forklaringer: • Overordnet niveau • HELE matematikken • ALLE metoder Matematikken set udefra. Forklaret til den oplyste lægmand. • Internt niveau • Dele af matematikken • Metoder i bestemt sammenhæng Matematikken set indefra. Forklaret til person med sammenligneligt kendskab til matematik.

6. Matematikkens identitet – set udefra • Læren om tal og former (platonisme?) • En delmængde af logikken (logicisme) • En mere abstrakt version af naturvidenskab. ”Fysik uden enheder”. (fysikalisme) • Et sprog • Et værktøj til naturbeskrivelse (nominalisme) • Et spil (formalisme) • Læren om mønstre og strukturer (strukturalisme) • Læren om rammer for menneskelig tænkning (intuitionisme) …fortsæt selv listen

7. Matematikkens identitet Historie • Opstået ud fra overvejelser om tal og former Genstandsområde • Hverken naturen eller kulturen? Metoder • Ikke eksperimentiel og ikke fortolkende? Min påstand: Matematikkens identitet (nu, i gymnasiet) består i kravet til stringent argumentation

8. Axiom Definition Lemma Sætning Korollar Euklids Elementer som ideal. Grundlag ”det, vi baserer udledningen på” Overbygning ”det vi udleder” Relationer er af typen ”medfører” og går kun fra Axiomer og Definitioner til Sætninger, aldrig omvendt. Matematisk teori er to-delt

9. Typisk lærebog i gymnasiet 3e MA bruger Vejen til Matematik A2 Kapiteloverskrift: Integralregning • Matematisk deldisciplin Definition: Stamfunktion • Centralt begreb Eksempler: x2 er stamfunktion til 2x - Centralt begreb i konkrete sammenhænge Sætning1: Konstantregel for integration Øvelse Sætning Sætning Anvendelser Opgaver

10. Centrale begreber:”teori” ifølge Fremmedordbogen teo’ri –en, -er (gr. theo’ria betragtning …) systematisering af bekræftede erfaringer på et vist område af den objektive virkelighed som den afspejler sig, og hvis forløb den kan forklare og forudsige; Naturvidenskab et fags, en videnskabs system af læresætninger; Matematik forståelsesramme; Humaniora, samfundsvidenskab tankemæssigt kendskab til en sag (mods. praksis). Dagligdag

11. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Teori: matematisk disciplin • geometri, algebra, analyse, statistik, … • netværk af udsagn, knyttet sammen af logiske relationer, på grundlag af priviligerede udsagn (aksiomer, definitioner og tidligere beviste sætninger)

12. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Definition: navngivning, dåbshandling • sand pr. konvention • tillægger en mening til et symbol, der ikke i forvejen har en mening • kan og skal ikke bevises • spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsløst • kan ikke være et eksistensudsagn Eksempel: En trekant, hvor en af vinklerne er større end en ret vinkel, kaldes stumpvinklet. 0!=1 - kan motiveres, men ikke udledes

13. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Aksiom • sand pr. konvention (formalisme) eller • sand fordi den korrekt beskriver et abstrakt domæne (platonisme). (Find selv på flere) • kan og skal ikke bevises • sammenknytter termer, der i forvejen har mening • kan godt være en eksistenspåstand • Spørgsmål om ”hvorfor?” er meningsfulde, men besvares med ”sådan er det bare” Eksempel Axiom of Infinity, Zermelo-Fraenkel mængdelære

14. Diskussion i arbejdsgruppen Hviler matematik i gymnasiet på et grundlag af axiomer? Ser eleverne axiomer? Er matematik i gymnasiet axiomatisk-deduktiv? Eksempel Hvis en delmængde A af de reelle tal er opad begrænset, findes den mindste øvre grænse, supremum(A).

15. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Sætning • en sætning er et sandt udsagn • en sætning følger v.h.a. deduktion fra allerede kendte udsagn • en sætning kan og skal bevises I gymnasiet. Dette er problematisk jf. Gödel • en sætning sammenknytter begreber, der i forvejen har mening • Spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsfuldt og besvares med et bevis • er ofte på formen ”hvis forudsætninger så konklusion”. Konklusionen er ofte en formel (i gymnasiet). • er generel – dækker mange tilfælde

16. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Bevis • argument i matematisk fagsprog • kæde af sammenhængende påstande, der dokumenterer, at en sætning er sand • tjener til at overbevise tilhøreren om, at man ville kunne lave en formel, logisk udledning af sætningen Efter Tereses mening: dét træk ved matematik, der giver fagets dets identitet i gymnasiet.

17. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Deduktion • udledning i overensstemmelse med logiske slutningsregler • vi underforstår de logiske slutningsregler Eksempel på logisk slutningsregel (modus ponens) P Hvis P, så Q Altså Q Forskellige systemer ~(~P) er ækvivalent med P i klassisk logik, men ikke i intuitionistisk logik

18. Diskussion blandt Roskilde Katedralskoles matematiklærere Er sætningerne sande, fordi axiomerne er sande (Euklid)? Er axiomerne velvalgte, fordi de giver anledning til ’de rigtige’ sætninger (Russell)?

19. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Formodning eller hypotese • er et udsagn, hvis sandhedsværdi er ukendt • kandiderer til at blive bevist • sammenknytter begreber der i forvejen har mening Eksempler Goldbachs formodning: ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal Fermats sidste sætning (før 1994) Alle fuldkomne tal er lige

20. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Eksempel (/øvelse/opgave) • anvendelse eller illustration af generel formel eller sætning • specifikt regnestykke eller specifik graf eller figur – i kontrast til generel lovmæssighed eller sætning

21. Centrale begreber i matematik-beskrivelse Model • typisk en eller flere ligninger (eller uligheder) og/eller figurer, der angiver sammenhænge mellem størrelser, sammen med • en ’parlør’ for oversættelse til størrelser fra en anden kontekst (’virkeligheden’) og • måske en angivelse af definitionsmængde for størrelserne, der afspejler ’virkeligheden’

22. Definiton-Axiom-Sætning

23. Centrale begreber:”metode” ifølge Fremmedordbogen me’tode –n, -r (lat. me’thodus, gr. ’methodos undersøgelsesmåde, af me’ta efter + hodos vej) planmæssig fremgangsmåde, systematisk procedure • hvad som helst der ikke er tilfældigt! ”Metode” betyder ofte anvendelse af et eller flere teoretiske resultater. ”Jeg bruger sætning 2.3 på side 85 i bogen”

24. To niveauer af metoder

25. Oplæg til diskussion Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens identitet? Overordnet niveau: ”Matematik er en deduktiv videnskab” vs. Internt niveau: ”Jeg har brugt statistik, fordi jeg skulle behandle et stort talmateriale” Hvordan underviser vi dem i matematikkens identitet?

26. Oplæg til diskussion Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens metoder? ”Matematikken er en deduktiv videnskab” ”Matematik hviler på ræsonnementer” ”Jeg beviser sætningen ved at anvende tretrinsreglen” Hvilke typer spørgsmål stiller vi som test af, om de har kendskab til elementær videnskabsteori? ”Hvad er matematik?” ”Hvad er forskellen på matematik og fysik?” ”Hvorfor kan matematik bruges her?”