Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE__04_PVP_191_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. Kvantily

4. Medián • Medián libovolného znaku je větší nebo roven polovině hodnot tohoto znaku a současně je menší nebo roven druhé polovině hodnot. • Často nás ale může zajímat obecnější hodnota. • Například učitele může zajímat, který žák má známky lepší než 60 % jeho spolužáků. • Při psaní srovnávacích testů bývá v hodnocení uvedeno, kolik procent zúčastněných dopadlo v testu hůře. • Proto je zaveden nový pojem – kvantil.

5. Kvantil Jestliže , pak p-procentním kvantilem statistického znaku rozumíme hodnotu s následující vlastností: Alespoň p % hodnot tohoto znaku je menších nebo rovných a současně alespoň (100-p) % hodnot je větších nebo rovných . Příklad: Soubor obsahuje čísla Číslo je -procentním kvantilem, protože % hodnot souboru je menších nebo rovno tomuto číslu.

6. Určení kvantilu • Hodnoty souboru uspořádáme podle velikosti • Určíme pořadí r, na kterém se nachází hledaný kvantil a to podle vzorce • Hodnota kvantilu závisí na r: • Pokud r je celé číslo, platí • Pokud r není celé číslo, najdeme jeho celou část c a zbytek po zaokrouhlení Kvantil vypočteme podle vzorce

7. Kvantil a medián Nyní dokážeme, že 50-procentní kvantil je medián. 1) Soubor má lichý počet hodnot . Pokud je číslo n liché, můžeme jej zapsat ve tvaru , kde k je číslo celé. Vypočteme Číslo r je číslo celé, platí tedy . Hodnota je navíc prostřední hodnotou souboru, takže platí .

8. Kvantil a medián 2) Soubor má sudý počet hodnot . Pokud je číslo n sudé, můžeme jej zapsat ve tvaru , kde k je číslo celé. Vypočteme Číslo r není číslo celé, určíme . Kvantil vypočteme podle vzorce . Po úpravě získáme , což je aritmetický průměr dvou prostředních hodnot souboru, takže medián. Platí tedy .

9. Příklad Z uvedené tabulky určete 65-procentní kvantil. Platí , hledáme . Vypočteme Dosadíme a získáme

10. Kvartily Velmi často se ve statistice pracuje s mediánem a také se dvěma kvantily ( Proto získaly speciální označení a to dolní a horní kvartil. • Dolní kvartil statistického znaku je hodnota To znamená, že odděluje „dolní čtvrtinu“ dat od zbytku souboru. • Horní kvartil statistického znaku je hodnota . To znamená, že odděluje „horní čtvrtinu“ dat od zbytku souboru. Poznámka: Medián odděluje poloviny hodnot souboru, takže spolu s kvartily rozdělují soubor na čtvrtiny.

11. Decily a percentily • Decily rozdělují uspořádané hodnoty statistického souboru na deset stejně četných částí. Jde opět o některé kvantily. Například první decil je 10-procentní kvantil, osmý decil je 80-procentní kvantil. • Percentily rozdělují uspořádané hodnoty statistického souboru na sto stejně četných částí. První percentil je 1-procentní kvantil, devatenáctý percentil je 19-procentní kvantil. Poznámka: Hodnocení pomocí percentilů používá firma SCIO, kdy v hodnocení žáka uvádí jeho úspěšnost v jednotlivých testech, ale také srovnání se skupinou žáků, kteří test psali.

12. Použitá literatura: CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-365-3. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.