Ayrık Matematik

1. Ayrık Matematik

2. İspat Yöntemleri • Tümevarım • Çelişki • Aksi Örnek • Doğrudan İspat • Genişlik Önce • ……

3. Tümevarım Matematiksel tümevarımda, doğal sayıların özellikleri üzerinde tanımlanmış özellikler ispatlanır. P(n), n sayısı için verilmiş olan bir veya birden fazla cümle olsun. Örneğin, P(n) : n(n+3) sayısı çifttir. P(n) : Eğer n10 ise, 2n>n3 olur. Amacımız, P(n) cümlesinin doğru olduğunu bütün n değerleri için göstermektir. Bunun için P(1) doğru olduğu gösterilir. Bu adımda yapılacak olan P(1), P(2), ..., P(n) doğru ise P(n+1) cümlesinin doğru olduğunu göstermektir. Bu ispat, herhangi bir nZ+ için doğru olmalıdır.

4. Tümevarım 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7=52 ..... ve genel bağıntısı 1+3+5+...+(2n-1)=n2 şeklindedir. Bu bir iddia olduğuna göre tümevarım ile ispatı yapılabilir. İlk olarak n=1 için 1=12 olur.

5. Tümevarım • P(1), P(2), ..., P(n) kadar olan cümlelerin doğrulukları kabul edilsin. Bundan sonra (9.1) bağıntısının (2n+1) için doğru olup olmadığının irdelenmesi gerekir. Bu eşitlikte her iki tarafa 2n+1 değeri eklensin ve toplam işlemleri yapılsın. • 1+3+5+...+(2n-1)+2n+1=n2+(2n+1) • =(n+1)2 • olur veya n2+(2n+1)=(n+1)2 n2+2n+1=n2+2n+1 olur ve ispat tamamlanmış olur ve P(n+1) cümlesinin doğru olduğunu gösterir.

6. Tümevarım 1-n(P(n)P(s(n))) birinci önerme 2- P(0) ikinci önerme 3-P(0)P(1) n=0 için 4-P(1) 2,3 modus ponens 5-P(1)P(2) n=1 6-P(2) 4,5 modus ponens 7-P(2)P(3) n=2 8-P(3) 6,7 modus ponens ........

7. Tümevarım

8. İlk durum basit ve ispatın ilk adımını oluşturur. İkinci kısım ise, şartlıdır.M(k) kabul edilir ve F(k+1) doğruluğu ispatlanır. n F(n) Matematiksel Tümevarım Herkes meyden hoşlanır. İki durum ispatlanır: Kişi 1 Meyve (M(1)) hoşlanır Eğer kişi k Meyveden hoşlanırsa, Kişi k+1’da hoşlanır. (F(k)  F(k+1))

9. İlk adım (n=1) P(k)P(k+1) ispatla Tümevarım hipotezi Matematiksel Tümevarım İlk n tane tek sayının toplamının n2 olduğunu gösteriniz. İlk adım (n=1): ilk 1 tane tek sayının toplamı 12 olur, 1 = 12. P(k): ilk k tane tek sayının toplamı olsun ve k2. 1 + 3 + … + (2k - 1) = k2 İspat: 1 + 3 + … + (2k - 1) + (2k + 1) = (k+1)2 1 + 3 + … + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k + 1) = (k+1)2

10. Tümevarım hipotezi Matematiksel Tümevarım İspatla: 11! + 22! + … + nn! = (n+1)! - 1, n • İlk adım: (n=1): 11! = (1+1)! - 1? • 11! = 1, 2! - 1 = 1 Hipotez P(k): 11! + 22! + … + kk! = (k+1)! - 1 İspatla: 11! + … + kk! + (k+1)(k+1)! = (k+2)! - 1 11! + … + kk! + (k+1)(k+1)! = (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)! = (1 + (k+1))(k+1)! - 1 = (k+2)(k+1)! - 1 = (k+2)! - 1

11. Tümevarım hipotezi Matematiksel Tümevarım S kümesi için |S| = n, |P(S)| = 2n olduğunu ispatlayınız. İlk adım: (n=0): S=ø, P(S) = {ø} and |P(S)| = 1 = 20 Hipotez P(k): If |S| = k, then |P(S)| = 2k Eğer |S’| = k+1 ise, |P(S’)| = 2k+1 S’ = S U {a} bazı S  S’, |S| = k, ve a  S’. a elemanını içeren altkümeler, ve içermeyen kümeler şeklinde bölütlenir. Bu kümeler ayrı-ayrı hesaplanır.

12. Matematiksel Tümevarım Hipotez: P(k): Eğer |S| = k ise, |P(S)| = 2k Eğer |S’| = k+1 ise, |P(S’)| = 2k+1ispatla. S’ = S U {a} bazı S  S’, |S| = k, ve a  S’. a elemanını içeren altkümeler, ve içermeyen kümeler şeklinde bölütlenir. P(S’) = {X : a  X} U {X : a  X} P(S’) = {X : a  X} U P(S)

13. Böylece |{X : a  X}| = |P(S)| Matematiksel Tümevarım Hipotez: P(k): Eğer |S| = k ise, |P(S)| = 2k Eğer |S’| = k+1 ise, |P(S’)| = 2k+1ispatla. S’ = S U {a} bazı S  S’, |S| = k, ve a  S’. a elemanını içeren altkümeler, ve içermeyen kümeler şeklinde bölütlenir. P(S’) = {X : a  X} U {X : a  X} P(S’) = {X : a  X} U P(S) |P(S’)| = |{X : a  X}| + |P(S)| = 2 |P(S)| = 2k+1 = 22k

14. Güçlü Matematiksel Tümevarım Örnek. n tane mavi nokta ve n tane turuncu nokta olsun. Bu noktalar düzleme 3 tane aynı doğru üzerinde olmayacak şekilde yerleştiriliyor. Mavi nokta ve turuncu nokta birleştiriliyor. Birleştirme işlemi doğru parçası ile yapılıyor ve bu doğru parçalarının birbirini kesmediğini gösteriniz.

15. Güçlü Matematiksel Tümevarım İlk adım : (n=1): (k+1) küçük boyutlu problemlerin çözüldüğü kabul edilsin. (k+1) çiftin eşleştirilebileceğini gösteriniz.

16. Güçlü Matematiksel Tümevarım (k+1) çift için gösterilebilir. Bir doğru parçası ile noktalar grubu ikiye ayrıldı Grup 1: j tane mavi ve j tane turuncu Grup 2: (k+1)-j tane mavi, (k+1)-j turuncu T.H. T.H.

17. Güçlü Matematiksel Tümevarım Her zaman böyle bir doğru parçası var mıdır? Noktalarındışbükeydüşünülsün: T.H. Eğer gövde üzerinde değişen çift bulunuyorsa, işlem tamam! T.H.

18. Güçlü Matematiksel Tümevarım Eğer gövde üzerinde değişen çift yoksa, bütün noktalar aynı renktedir. Dikkat edilirse, dikey doğru parçaları turuncu noktaya ilk ve son olarak denk gelir. Verilmeyen bir çift eğimi ile süpürme yapılabilir. OK!! (by IH) OK!! (by IH)

19. İspatlar ve Mantıklar • İrrasyonel sayılar • Asal sayılar sonsuzdur • n tane insan için kaç tane çift vardır? • Pasta Kesme Problemi

20. İspat 1 :Irrasyonel Sayılar • irrasyoneldir • Rasyonel sayılar : Rasyonel sayılar p/q şeklinde ifade edilirler; p ve q tamsayılardır ve q sıfır olamaz. • q=1 olabilir, bütün tamsayılar aynı zamanda rasyonel sayılardır.

21. Irrasyonel Sayılar

22. Irrasyonel Sayılar

23. İspat 2: Asal Sayılar • Asal sayılar kümesi sonsuzdur. • Asal Sayılar: Kendisine ve 1’e bölünebilen sayılar. • Asal sayılar kümesi sonlu olsun. • Yeni bir asal sayı bulunmalıdır ve var olan kümenin elemanı olmamalıdır.

24. İspat 2: Asal Sayılar • Elimizdeki asal sayılar kümesi • {2,3,5,7} olur. • P=2*3*5*7+1 ifadesi asaldır. • P sayısı yeni bir asal sayı mıdır, yoksa var olan asal sayılar kümesinin bir elemanı mıdır? • Asal olmayan sayı asal sayılar çarpımından oluşur.

25. İnsan Çiftleri • Üçgen sayılar • Geometrik ispat • Çift sayılar için • Tek sayılar için • Diğer ispat

26. Pasta Kesme • Pastayı öyle kesiniz ki her kesim yeni bir noktadan olsun. • n kesimden sonra kaç tane parça olur?s • P(n)=T(n)+1 kabul edilsin. • P(n+1) = T(n+1) + 1 ispatla • P(n) = P(n-1) +n