Download
1 / 13
E N D
p Liczba Pi p ≈ 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 … Ludolfina Prezentacje wykonał: Michał Szymański
Na całym świecie wielbiciele matematyki obchodzą dziś Dzień Liczby Pi. Nie jest on związany z żadną rocznicą - 3-ci miesiąc i 14-ty jego dzień, to po prostu trzy pierwsze cyfry liczby Pi - 3,14... Dzień Liczby Pi ma promować wiedzę matematyczną, szczególnie wśród uczniów wszystkich typów szkół. Nauczyciele, studenci, uczniowie i ich rodzice uczestniczą w różnych imprezach związanych z promowaniem matematyki. Liczba Pi określa - najprościej mówiąc - stałą wartość, stanowiącą stosunek obwodu koła do jego średnicy. Pierwsze dwie cyfry po "trójce" - 1 oraz 4 - wprowadził do nauki słynny Archimedes. Dwa lata temu minęła 300. rocznica wprowadzenia symbolu liczby Pi do matematyki. Szesnasta litera greckiego alfabetu pojawiła się jako oznaczenie wartości 3,1415... w publikacji Williama Jonesa, zatytułowanej „Synopsis Palmariorium Mathesios”. Od litery Pi rozpoczyna się greckie słowo oznaczające "obwód".
Już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się liczbę p) jest wielkością stałą i, co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur.
Liczba p - stosunek długości okręgu do długości jego średnicy jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415 .... Liczba p jest liczbą niewymierną. W ciągu prawie 4000 lat, które od tamtych czasów upłynęły, p przechodziło wiele przemian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwie cyfry dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa.
Ciekawostki: W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie p z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. W III wieku przed Chrystusem, Archimedes oszacował p z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, a do wyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz. Używany dzisiaj symbol p nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku Wiliam Jones (Pi pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa „peryferia” lub „perimetron” ), w powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku, po wydaniu „Analizy” Leonarda Eulera (1707-1783). Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Obecnie nie ma problemów, aby poznać liczbę p choćby do milionowego miejsca po przecinku, z pomocą ludziom przychodzą komputery.
Ciekawostki: Słynny papirus Ahmesa, najdawniejszy "podręcznik" matematyczny, powstały około 2000 lat przed naszą erą, podaje następujący sposób budowy kwadratu o polu równym polu koła: "Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem." Na podstawie tego przepisu "pi" Ahmesowe równało się 3,1605. Budowniczowie piramidy byli zatem lepiej wtajemniczeni. Pewien japończyk - Akira Haraguchi - postanowił nauczyć się „kilku” więcej miejsc po przecinku liczby p, by pobić rekord Guinnessa ustanowiony przez siebie w 1995 roku (wtedy udało mu się zapamiętać liczbę p z dokładnością do 83431 miejsc po przecinku). W tym roku udało mu się zapamiętać liczbę p z dokładnością do 100000 miejsc po przecinku! Bicie rekordu zajęło ponad 16 godzin! Przez te wszystkie godziny, japończyk recytował cyfry, robiąc jedynie co dwie godziny pięciominutowe przerwy na posiłek (w postaci kulek z ryżu). Haraguchi rozpoczął recytację w środę o 9 rano. Swój wcześniejszy rekord wyrównał w nocy z środy na czwartek, a do 100-tysięcznej cyfry po przecinku doszedł o 1:28 w czwartek.
Z liczbą Pi, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3. Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby Pi było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości. XIX-XVII w. p.n.e. V-III w. p.n.e. II w. p.n.e. – I w. n.e. Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do przybliżonej wartości liczby pi. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125. W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa: Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie p 3.
III w. p.n.e. III w. n.e. VI w. n.e. VII w. n.e. Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby p, w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, pozwalającej oszacowywać p z teoretycznie dowolną dokładnością. Metoda ta przez następne wieki była wykorzystywana przez matematyków. Wynikiem pracy Archimedesa było podanie przedziału, w jakim mieści się p. Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około roku 500nego n.e. podał dwa przybliżenia liczby p - wcześniejsze – 22/7, oraz późniejsze, wynoszące 355/113, które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby p. Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopo-dobniej nie miał dostępu do jego prac. Brahmagupta, hinduski matematyk około 600 r.n.e., podał inne przybliżenie wartości p - pierwiastek z 10 (w przybliżeniu 3,162), stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio pierwiastek z 9,56, z 9,81, z 9,86 i z 9,87. Liu Hui, chiński matematyk , żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość p na 3,1415.
XIV w. n.e. XVI w. n.e. XVII w. n.e. XVIII w. n.e. XIX w. n.e. W 1596 r. Ludolph van Ceulen, obliczając metodą Archimedesa, podał przybliżenie z dokładnością do 35. miejsca po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!). Obliczenia prowadził przez całe życie. Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia pi, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną. Odkryta przez niego wartość Pi została wyryta na jego płycie nagrobkowej. Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 r. - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 r. - 527 miejsc po przecinku). W 1946 r. Ferguson podał wartość do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 r. obliczono z dokładnością 2,0615×1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000. Pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 r. w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na pi. Od tego czasu, do obliczania wartości p, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. W 1400 r. hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674 r. {
Liczba PiPodziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniemosiem dziewięć obliczeniemsiedem dziewięć wyobraźnią,a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie.Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywapodobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.Korowód cyfr składających się na liczbę Pinie zatrzymuje się na brzegu kartki,potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,przez całą nieba wzdętość i bezdenność.O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaściemój numer telefonu twój numer koszulirok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętroilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszyobwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,w którym słowiczku mój a leć, a piejoraz uprasza się zachować spokój,a także ziemia i niebo przeminą,ale nie liczba Pi, co to to nie,ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,nie byle jakie osiem,nieostatnie siedem,przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wiecznośćdo trwania.Wisława Szymborska
Obrazowe przedstawienie:Jaką drogę pokonuje koło o średnicy 1, wykonując jeden obrót?
Zadania związane z liczbą Pi Zadanie: Ile pełnych obrotów wykona koło rowera na trasie z x do y, jeśli odległość między tymi miastami wynosi 5 km, a średnica koła ma 660 mm? Rozwiązanie: 660 mm = 66 cm obwód koła = średnica ∙ p ≈ 66 cm ∙ 3,14 ≈ 207,24 cm 5 km = 500.000 cm 500.000 : 207,24 ≈ 50.000.000 : 20.724 ≈ 2413 obrotów Zadanie: Wskazówka minutowa zegara na wieży ma długość 50 cm. Jaką drogę przebędzie jej punkt końcowy w ciągu doby? Rozwiązanie: średnica = 50 cm ∙ 2 = 100 cm obwód = 100 cm ∙ p ≈ 100 cm ∙ 3,14 ≈ 314 cm W ciągu doby wskazówka minutowa wykonuje 24 obroty, więc: 314 ∙ 24 ≈ 7536 cm ≈ 7,536 m Zadanie: Czy z kartki o wymiarach 21 cm x 30 cm można zrobić rulon, przez który przetoczy się piłka o średnicy 9 cm? II sposób: Obwód rulonu = 30 cm Średnica rulonu = 30 cm : p ≈ 30 cm : 3,14 ≈ 9,55 cm Średnica piłki = 9 cm 9 cm < 9,55 cm =>> można zrobić taki rulon Rozwiązanie: I sposób: Obwód piłki = 9 cm ∙ p ≈ 9 cm ∙ 3,14 ≈ 28,26 cm Obwód rulonu = 30 cm 28,26 cm < 30 cm => można zrobić taki rulon
Zadania związane z liczbą Pi Zadanie: Hania obeszła trawnik w kształcie koła, wykonując 30 kroków. Jaka jest średnica tego trawnika, jeśli średnia długość kroku Hani wynosi 0,6 m? Rozwiązanie: 30 ∙ 0,6 ≈ 18 m – obwód trawnika 18 : p ≈18 : 3,14 ≈ 5,73 m – średnica trawnika Zadanie: Jurij Gagarin, pierwszy kosmonauta, podczas swojego lotu wykonał jedno okrążenie po kołowej orbicie na wysokości 180 km nad powierzchnię Ziemi. Średnica Ziemi w przybliżeniu wynosi 12 740 km. Jaką drogę pokonał Gagarin, okrążając Ziemię? Rozwiązanie: średnica = 180 + 12740 + 180 = 360 + 12740 = 13100 obwód = 13100 km ∙ p ≈ 13100 km ∙ 3,14 ≈ 41.134 km Gagarin pokonał wtedy drogę 41.134 km
