Opsjoner på aksjeindekser og valuta

Opsjoner på aksjeindekser og valuta Chapter 15

Indeksopsjoner • I Norge og de fleste andre steder brukes indekser for å registrere børsverdi. Mye brukt er hovedindeksen - OBX • OBX-opsjoner er europeiske opsjoner tilknyttet OBX-indeksen med løpetid 3 mnd • Da OBX-indeksen i seg selv ikke er et verdipapir, vil det ikke bli levering av aksjer ved innløsning. På opsjonens bortfallsdag blir det foretatt et kontantoppgjør • Innehaver av opsjonen som er blitt innløst, blir godskrevet verdien på opsjonen.

Kontraktsstørrelse • For at det skal være mulig å noteres opsjoner på OBX-indeksen, må indeksen kunne regnes om til en kroneverdi. Dette gjøres ved at verdien på indeksen multipliseres med indeks-multiplikatoren. Indeks-multiplikatoren for OBXindeksen er på 100. Er OBX-indeksens verdi 600, blir kroneverdien som en opsjonskontrakt relateres til kr 60 000. Denne kroneverdien på kr 60 000

Eksempel indeksopsjon • Vi har en kjøpsopsjon på en indeks med innløsning 560 • Anta at 1 kontrakt utøves når indeksen er 580 • Hva er payoff?

Indeksopsjoner som portefølje-forsikring • Anta at indeksverdi er S0 og innløsningskurs K • Hvis vi har en portefølje med b på 1.0, forsikres porteføljen ved å kjøpe en put opsjon på indeksen for hver 100S0 kr i porteføljen • Hvis b ikke er 1.0, kjøpes b put opsjoner for hver 100S0 kr i porteføljen • I begge tilfeller velges Kut fra forsikringen som ønskes

Eksempel 1 • Porteføljen har beta på 1.0 og verdi nå er $500 000 • Indeksen er nå 1000 (porteføljen er verdt 500 ganger indeksen) • Hva må gjøres for å forsikre mot at porteføljeverdi skal falle under $450,000? • Må kjøpe 5 salgsopsjoner med innløsning 900 • Hvis indeksen for eksempel blir 880, blir porteføljeverdi ca 440 000 • Gevinst fra opsjonene 5 ∙ (900 – 880) ∙ 100 = 10 000

Eksempel 2 • Porteføljebeta er 2.0 • Porteføljeverdi nå er $500 000 og indeksen er 1000 • Risikofri rente er 12 % p. a. • Dividend yield på såvel portefølje som indeks er 4% p. a. • Hvor mange put opsjoner må kjøpes for å forsikre porteføljen til $450 000? • 2 ∙ 500 000/(1 000 * 100) = 10 • Hva skal innløsningskursen være? Vi bruker CAPM

Sammenheng mellom indeksverdi og porteføljeverdi om 3 mnd • Hvis indeksen øker til 1040, er avkastningen 40/1000 eller 4 % på 3 mnd • Total avkastning inklusiv dividende = 5 % • Avkastning ut over risikofri rente = 2 % • Merkavastning for porteføljen = 4 % • Forventet porteføljeavkastning = 3 % + 4 % = 7 % • Dividende = 1 % • Økning i porteføljeverdi 7 % - 1 % = 6 % • Porteføljeverdi 500 000 ∙ 1.06 = 530 000

Forsikringen virker

Innløsningskurs En opsjon med innløsning 960 forsikrer porteføljen mot å falle i verdi med mer enn 10 %. Hva hvis indeksen er 880?Gevinst fra 10 salgsopsjoner (960 – 880) ∙ 10 ∙ 100 = 80 000, som gir totalverdi 370 000 + 80 000 = 450 000.

Valutarisiko • For bedrifter som er engasjert med import/eksport er det svært nærliggende å sikre seg mot valutakesponering. Aktuelle instrumenter kan være • Termin eller futures • Range forward (kombinasjon av opsjoner) • Valutaopsjoner (vanligst er OTC kontrakter)

Range Forward Contracts • Range forwards sikrer at valutakurser blir liggende i et gitt intervall • Hvis valuta skal utbetales, selges en put med innløsningskurs K1 og det kjøpes en call med innløsningskurs K2 • Hvis valuta skal mottas, kjøpes en put med innløsningskurs K1 og det selges en call med innløsningskurs K2

Range Forward Contract continuedFigure 15.1, page 327 Payoff Payoff Asset Price K1 K2 K1 K2 Asset Price Long Position Short Position

Europeiske opsjoner på aksjer med dividend yield • Anta at aksjekurserS0og at aksjengir en kontinuerligdividendepåq • Vi kanverdsetteeuropeiskeopsjonerved å redusereaksjekursentilS0e–qTogsåberegneopsjonsverdipåvanligmåte

Prisingsformel for opsjoner med dividend yield (Equations 15.4 and 15.5)

Binomialmodellen S0u ƒu p S0 ƒ S0d ƒd (1– p ) • f = e-rT[pfu+(1– p)fd ]

Binomialmodellen forts • I en risikonøytral verden vil aksjekursen øke ned r – qog ikke rnår vi har en dividend yield q • Sannsynligheten, p, for kursøkning er dermed gitt ved pS0u+(1 – p)S0d=S0e(r-q)T slik at

Verdsetting av europeiske indeksopsjoner Vi bruker samme formel som for en aksjeopsjon med kontinuerlig dividende q S0 = nåværende indeks q = gjennomsnittlig dividende i løpet av opsjonens levetid (annualisert)

Indeksopsjon eksempel 15.3

Europeiske valutaopsjoner • En fremmed valuta er en eiendel som gir rente eller “dividend yield” lik rf • Vi kan bruke samme verdsettingsformel som for en aksje som gir kontinuerlig dividende • Vi definerer S0= nåværende spotkurs og q = rƒ

Prisingsformel for europeiske valutaopsjoner(Equations 13.9 and 13.10, page 305)

Eksempel 15.5 • Vi har at • Spotkurs S0 = $1,6000/£ • Innløsningskurs K = $1,6000/£ • Standardavvik σ = 14.1 % • Dollar rente r = 8 % • Pund rente rf = 11 % • Tid til bortfall = 3 mnd (T = 1/3)

Valutaopsjon (Garman – Kohlhagen)

Alternativformel Vi har at

Opsjoner på aksjeindekser og valuta