Construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada .

1. Problema de las cuadraturas • Construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. En la antigua Grecia se sabía cuadrar casi cualquier polígono.

2. Eudoxo de Cnido (390-337 a. C.) • Desarrolló el método exhaustivo o principio de convergencia, mediante el cual se podían lograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. • Principio de convergencia. • Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sucesivas sustracciones, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

3. Período Helenístico o Alejandrino. • Comienza con la muerte de Alejandro en el año 323 a.C. hasta el siglo VI d.C. • La edad de oro (300 a 200 a. C.) • Euclides. Recoge en su obra “Los elementos” todos los conocimientos de sus predecesores. Son 13 libros: los seis primeros sobre geometría plana –donde expone sus cinco axiomas y cinco postulados-, los tres siguientes sobre la teoría de los números, el décimo sobre los incomensurables y los tres últimos sobre la geometría de los sólidos.

4. Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.C.) Perfecciona el método exhaustivo en su libro “La Esfera y el Cilindro” • Propiedad arquimediana: “Dadas magnitudes cualesquiera a > 0 y b > 0, siempre es posible, por pequeña que sea a y grande que sea b, conseguir que un múltiplo conveniente de a exceda a b, es decir, na > b para algún número natural n.”

5. Teorema: El área ( PVQ)= 4/3 área (triángulo PVQ).

6. Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.C.) Carta que escribe Arquímedes a su amigo Dositheus: Se verifica que el vértice V de un segmento parabólico PQ es el punto intersección con la parábola de la recta paralela al eje de la parábola que pasa por el punto medio del segmento PQ. El triángulo PVQ, cuya base es el segmento PQ y cuyo otro vértice es el vértice V del segmento parabólico, recibirá el nombre de triángulo inscrito.

7. Primeros intentos • En la figura se han representado también los triángulos PMV y VNQ inscritos, respectivamente, en los segmentos parabólicos determinados por las cuerdas PV y VQ. • En su carta afirma saber que el Área(PMV) = ¼ área(PVO) y área(VNQ) = ¼ área(VOQ). • Por tanto la suma de las áreas de los dos nuevos triángulos es ¼ del área del triángulo PVQ • Este proceso se puede repetir indefinidamente. Pero aparece una serie infinita y … Arquímedes, no sabe de convergencia de series!!!!

8. Demostración • Veamos cómo hacer la demostración usando el principio de convergencia de Eudoxo: • Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sucesivas sustracciones, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

9. Demostración Sea K el área del segmento parabólicoPQ y S el área de PVQ. Supongamos que K > 4/3S; es decir, que K -4/3S > 0.. El área del triángulo PVQ inscrito en un segmento parabólico es la mitad del área del paralelogramo circunscrito, la cual, a su vez, es mayor que el área del segmento, parabólico. Por tanto, se sigue que el área del triángulo inscrito es mayor que la mitad del área de dicho segmento, Aplicando el principio de convergencia de Eudoxo.

10. Demostración • En la sucesión K;K -S; K -(S + 1/4S);K - (S + 1/4S + 1/16S,…cada • término es menor que la mitad del que le precede y, • por tanto, en virtud del citado principio, podemos concluir que en alguna etapa se tendrá • K -4/3S > K-(S +1/4S +1/16S + …+1/4n S). • Es decir, S +1/4S +1/16S + …+1/4^n S > 4/3S; • lo que es contradictorio con la igualdad, conocida por Arquímedes: • S +1/4S +1/16S + …+1/4^n S =4/3 S (1- 1 /4^(n+1)). • Por tanto, no puede ser K > 4/3

11. Demostración Supongamos que K < 4/3S; es decir, que K -4/3S < 0. Cada una de las áreas S; 1/4S; 1/16S; …; ¼^n S es menor que la mitad de la que le precede y, por tanto, en virtud del principio de convergencia de Eudoxo, podemos concluir que en alguna etapa se tendrá que ¼^n S < 4/3S -K: Entonces 4/3S - K >1/4^n S > 1/3(1/4^n S) = 4/3(1/4^(n+1) S= =4/3S -(S +1/4S +1/16S… +1/4^n S). Lo que implicaría que K < S + 1/4S +1/16S+… +1/4^n S absurdo, pues la suma de la derecha es el área de un polígono inscrito en el segmento parabólico. • La única posibilidad es K = 4/3S.

12. Procesos infinitos El razonamiento de Hipaso nos ha introducido en un proceso susceptible de repetirse indefinidamente,: dibujar dentro de un pentágono otro pentágono interior., y repetir de nuevo el proceso. ¿Existirá un pentágono tan diminuto que no pueda construirse otro más pequeño? En el procedimiento de añadir sucesivos triángulos en el segmento parabólico PVQ ¿se conseguirá un recubrimiento total? Nexo común:¿Se puede dividir de forma continua la materia en trozos más y más pequeños o se alcanza una pieza tan diminuta que no puede dividirse aún más?

13. Dicotomía continuo-discreto • Los pitagóricos habían supuesto que el espacio y el tiempo pueden ser imaginados como constituidos por puntos e instantes. • Los elementos últimos que forman una pluralidad se suponía que tenían las características de la unidad geométrica, el punto, confundido con la unidad numérica. .

14. Dicotomía continuo-discreto • Escuela eleática: movimiento filosófico rival de la de los pitagóricos liderado por Parménides(510-450 a. C.) . • Distingue la apariencia y la esencia de las cosas. Su concepto del Ser excluye toda posibilidad de nueva generación de seres y/o sustancias y, por tanto, el cambio y el movimiento son mera ilusión, porque ambos presuponen que lo que no es pueda llegar a ser. • La ciencia ha de buscar esa realidad detrás de las apariencias del mundo de los sentidos y distinguir la verdad (el ser) de la opinión (el no ser).

15. Zenón de Elea (siglo IV a. C.) Discípulo de Parménides ideó sus paradojas o aporías para desacreditar a quienes negaban las ideas de éste y demostrar que el espacio y el tiempo son infinitamente divisibles y de que el movimiento es continuo y uniforme. Usa el Método dialéctico, el cual consiste en partir de las premisas que defiende el oponente para terminar reduciéndolas al absurdo.

16. Zenón de Elea (siglo IV a. C.) Dicotomía: Afirma que antes de que un objeto en movimiento pueda recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero aún antes ha de recorrer un primer cuarto de la mitad inicial ,…y así indefinidamente, a través de una cantidad infinita de subdivisiones. El corredor que quiere cubrir dicha etapa debe realizar un número infinito de etapas en un tiempo finito, y, por lo tanto el tiempo necesario para realizar la carrera es infinito.

17. Zenón de Elea (siglo IV a. C.) Aquiles y la tortuga. Aquiles deja una distancia inicial a la tortuga. Cuando Aquiles llega a la posición inicial de la tortuga ésta se encuentra en una posición más avanzada, cuando el primero llega a esta posición la tortuga se encuentra en una tercera posición, y así el proceso continúa indefinidamente, con el resultado de que el veloz Aquiles permanece corriendo sin alcanzar jamás a la tortuga que le lleva unos pocos metros de ventaja.

18. Zenón de Elea (siglo IV a. C.) Flecha disparada: Si se supone que el espacio y el tiempo están formados por unidades mínimas indivisibles y el movimiento es una sucesión de diminutos saltos consecutivos, en cada uno de esos instantes indivisible de tiempo, la flecha. debe permanecer quieta. Por tanto, en cada instante la flecha está quieta y, como el tiempo se compone de instantes, la flecha está siempre quieta y el movimiento no tiene lugar.

19. Procesos infinitos y paradojas Las aporías de Zenón son un extraordinario desafío, al que filósofos y matemáticos han dado diversas respuestas, sin que aún hoy se tenga conciencia clara de haberlas podido explicar de forma totalmente convincente. La introducción de conjuntos o procesos infinitos es la causa principal de la aparición de paradojas en Matemáticas.

20. Demócrito (460 - 370 a.C.) y el atomismo físico Los atomistas mantienen que hay dos principios fundamentales: los átomos y el vacío. Niegan la infinita divisibilidad del espacio y la materia y afirman que cualquier magnitud contiene elementos últimos indivisibles: los átomos (significa lo que no puede dividirse). Los átomos son invisibles, infinitos en número y de diversas formas y tamaños, perfectamente sólidos, indestructibles y permanentes.

21. Demócrito y el atomismo físico Argumento: Si una magnitud continua fuera dividida en todo punto, entonces no quedaría nada o sólo quedarían puntos sin extensión, porque en caso contrario el proceso de división podría proseguir. Si quedan puntos sin extensión, entonces no es posible recomponer la magnitud original a partir de ellos, pues por la agregación de puntos sin extensión no puede lograrse nunca una magnitud finita.

22. Aristóteles (384-322 a. C.) Defensa del continuo y refutación del argumento atomista: Una magnitud continua puede ser dividida en cualquier punto, pero no puede ser dividida en todo punto (dividir un continuo en todos sus puntos es reducirlo a lo discreto.) Un continuo tiene la propiedad de densidad, es decir, entre dos cualesquiera de sus puntos siempre hay otro punto del continuo y por tanto, es imposible llegar, por divisiones sucesivas, a reducir un continuo a puntos. El principio de no contradicción, según el cual una proposición y su negación no pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo y en el mismo sentido.

23. El Infinito y más allá Anaximandro (ca.610 - 546 a.C.) introdujo el infinito en la filosofía Griega como el ápeiron que significa etimológicamente lo sin límites. Aristóteles termina estableciendo en su Libro III de su Física, dos clases diferentes de infinito: el infinitopotencial y el infinito actual. Entiende el infinito potencial, como un proceso constante , secuencial de adición o de subdivisión sin final. El infinito actual está concebido como obra terminada y cuya existencia niega. (nunca será plenamente realizado pues no hay un infinito tal que después sea en acto).

24. Tipos de infinito 2. Tener la posibilidad de hacerlo define el infinito potencial; tenerlo hecho, el infinito actual. Decir que la serie de los números naturales 1,2,3, 4, … es infinita, significa que: dado cualquier número N siempre podremos crear un siguiente número que será N + 1, pero… nadie puede construir toda la serie.

25. Pies de plomo Los matemáticos griegos fueron plenamente conscientes de que los procesos infinitos conducen a paradojas, lo que les llevó a una autolimitación en el uso infinito. El método exhaustivo aunque consiste en una aproximación al área seguida e incluso su nombre sugiere “agotamiento” de una figura plana por polígonos inscritos no es un proceso límite. El método, como ya hemos indicado, estaba basado en un razonamiento muy cuidadoso de doble reducción al absurdo (razonamiento apagógico), precisamente para evitar la consideración de un infinito actual.

26. Pies de plomo 1. Euclides, en sus famosos Elementos,  cuando se refiere a rectas habla de “segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos”, en una clara alusión al infinito potencial, pero no dirá “rectas infinitas”. Igualmente, al enunciar que los números primos son infinitos, lo expresa diciendo que “Hay más números primos que cualquiercantidad de números primos propuesta”. De esta forma evita considerar el infinito actual de los números primos.

27. Más atrevido Arquímedes, hace un uso muy libre del infinito: descompone volúmenes como sumas infinitas de secciones, es decir, reduce un continuo a elementos indivisibles. • Prueba que un ortoedro puede descomponerse en tres pirámides que tienen, , dos a dos, igual altura e igual área de la base. • Dos pirámides de bases y alturas iguales descompuestas en una cantidad infinita de secciones transversales infinitamente delgadas y en correspondencia biunívoca tienen igual volumen. • Concluye que el volumen de la pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura. Da nuevo vigor a los atomistas y anticipa el principio de Cavalieri.

28. Los procesos infinitos • Con estos ejemplos, estamos ante una de las primeras apariciones del concepto de infinito en la historia. “¡El infinito! Ninguna cuestión ha conmovido tan profundamente el espíritu del hombre, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto” — David Hilbert (1862-1943). El infinito es uno de los conceptos matemáticos que entran de lleno en el terreno de la filosofía. Ambos atañen a la percepción del mundo, por lo que no es de extrañar que la evolución del infinito, como objeto matemático, haya estado muy unida a su concepción filosófica.

29. 'La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. • Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, son complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV, Euclides y Arquímedes en el III'.

30. El ocaso griego. En el año 146 a.C. los romanos toman Cartago y se adueñan progresivamente de todo el Mediterráneo. Llegan unos tres siglos donde la matemática tiene un carácter práctico para la astronomía, la navegación y la arquitectura. Así Menelao de Alejandría estudia los triángulos esféricos en su obra “Esférica”.