Série de Fourier

1. Série de Fourier As séries trigonométricas infinitas formadas por seno e/ou co-seno são chamadas séries de Fourier. Seja a série na forma No conjunto de pontos onde ela converge, ela define uma função f, cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x. Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f.

2. Periodicidade das funções seno e co-seno. Uma função é dita periódica com período T > 0 se o domínio de f contém (x+T) sempre que contiver x e se f(x+T) = f (x) para todo x. Nota-se claramente que, se T (período fundamental) é um período de f, então 2T também o é como qualquer múltiplo inteiro de T. Em particular, as funções sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., são periódicas com período fundamental T = (2L / m). Ortogonalidade das funções sen e co-seno Duas funções u e v são ditas ortogonais em   x   se seu produto interno é nulo, isto é, se

3. As funções sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ... • formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo • L  x  L. Senão vejamos

5. Supondo que uma série da forma converge. E considerando as propriedades de ortogonalidade vistas, temos que os coeficientes an e bn são dados por

6. Exemplo: Seja e suponha que f (x+6) = f (x). Encontre os coeficientes da série de Fourier de f. Como f tem período 6, segue que L = 3. Então a série de Fourier de f tem a forma onde os coeficientes an e bn são dados por

7. Similarmente, Logo a série de Fourier de f é

8. Funções pares e ímpares: Analiticamente, f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f (x) = f (-x) para cada x do domínio de f. Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém –x sempre que contiver x e se f (-x) = - f (x) para cada x no domínio de f.

9. Exemplos: • Funções pares : 1, x2, cos(nx), |x| e x2n. • Funções ímpares: x, x3, sem(nx) e x2n+1. • A maioria das funções não é par nem ímpar. Por exemplo ex. • A função identicamente nula é ímpar e par ao mesmo tempo. • Propriedades elementares: • A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções pares é par. • b) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; o produto (quociente) de duas funções ímpares é par.

10. c) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar; o produto (quociente) é ímpar. d) Se f é uma função par, então e) Se f é uma função ímpar, então Como consequência das propriedades d e e, os coeficientes de Fourier de f são dados por (caso em co-seno, par)

11. bn = 0, n = 1, 2, . . . Logo e no caso em senos, ímpar, temos: an= 0, n = 0, 1, 2, . . . E a série é dada por

12. Equação do calor A equação do calor tem a forma 2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0 Onde 2 é uma constante conhecida como difusividade térmica. O parâmetro 2 depende, apenas, do material do qual é feita a peça e é definida por 2 = k / s, onde k é a condutibilidade térmica,  é a densidade e s é o calor específico do material utilizado. As unidades de 2 (comprimento)2 / tempo.

13. Alguns valores de difusividade térmica. O problema fundamental de condução de calor é encontrar u(x, t) que satisfaz a equação diferencial 2uxx = ut, 0 < x < t, t > 0, a condição inicial u(x,0) = f(x), 0  x  L quando t = 0 e as condições de contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0.

14. A equação de onda A equação da onda é dada por 2uxx = utt, 0 < x < L, t > 0. O coeficiente constate 2 é dado por 2 = T /  onde T é a tensão na corda e  é a massa por unidade de comprimento do material da corda. Assim, a unidade de  é comprimento / tempo. Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as condições de contorno são u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t  0. Como a equação é de segunda ordem em t, é razoável ter 2 condições iniciais. u(x, 0) = f(x), 0  x  L e a velocidade inicial ut(x, 0) = g(x), 0  x  L, onde f e g são funções dadas.

15. Para a consistência da equação, faz necessário supor que f(0) = f(L) = 0 e g(0) = g(L) = 0. Equação de Laplace Em duas dimensões, a equação de Laplace, que tem inúmeras aplicações, é uxx + uyy = 0, e tem três dimensões. uxx + uyy + uzz = 0. Por exemplo, em um problema de calor a duas dimensões espaciais, a temperatura u(x, y, t) tem que satisfazer a equação 2 (uxx+ yxx) = ut, onde 2 é a difusividade térmica. O problema de encontrar uma solução da equação de Laplace com valores dados na fronteira é conhecido como um problema de Dirichilet.