Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum Dwujęzyczne w Śremie • ID grupy: 98/16_mf • Opiekun: Edyta Nowak-Polska • Kompetencja: • matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • ZFMiP_53. Twierdzenie Pitagorasa • Semestr/rok szkolny: II_2011/2012

3. TEMAT: „TWIERDZENIE PITAGORASA” W tym semestrze nasza grupa podjęła temat projektowy pt. „Twierdzenie Pitagorasa”. Zdecydowaliśmy na ten temat, ponieważ zgodnie stwierdziliśmy iż twierdzenie w nim zawarte miało (ma?) bardzo duży wpływ na osiągnięcia i współczesne oblicze matematyki. W czasie jego realizacji udało nam się bliżej poznać samo twierdzenie, dowody na jego prawidłowość i przydatność w wielu zadaniach matematycznych. Mieliśmy także możliwość sprawdzenia tego twierdzenia w praktyce, ponieważ wybraliśmy się na zajęcia plenerowe. W tej prezentacji postaraliśmy się zawrzeć zdobytą przez nas wiedzę oraz jej zastosowania.

4. PITAGORAS • Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos lub w Sydonie, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) –matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem.

5. Życie Pitagorasa • Mając 40 lat, Pitagoras założył w Krotonie w Italii tajemniczą wspólnotę, nazwaną Związkiem Pitagorejskim. Jej członkowie żyli według surowych reguł ustanowionych przez Pitagorasa. Nie jedli mięsa, ponieważ wierzyli, że dusze ludzkie przechodzą po śmierci w ciała zwierząt; nie spożywali także fasoli, bo Pitagoras był przekonany, że ona również ma duszę. 

6. PITAGORejczycy • Pitagorejczycy łączyli praktyki religijne z badaniami naukowymi. Szczególnie dużo czasu poświęcali matematyce, wierząc, że stanowi ona klucz do poznania tajemnic kosmosu; przypisywali też magiczne znaczenie liczbom. 

7. Pitagorejczycy głosili idee nieśmiertelności oraz wędrówki dusz, zaś drugi pogląd zanikł wśród bardziej współczesnych "wyznawców" i pochodził raczej od orfików. Sam Pitagoras wymieniał kilka postaci historycznych, z którymi identyfikował się korzystając z wyznawanej idei. • Potrafili oni czytać i pisać, prowadzili notatki, jak również stosowali formę częstego rachunku sumienia (znanego przecież nawet Egipcjanom). Według "Złotych wierszy" Pitagoras doradzał dobre wychowanie i opiekę nad rodzicami i bliskimi oraz modlitwę.

8.  ”Żywoty Pitagorasa”  podają szereg przykładów, z których wynika, że pitagorejczycy byli ludźmi dbającymi o równowagę ducha, nie nawykłymi do kłamstwa i kradzieży, słownymi, niosącymi ofiarnie pomoc innym pitagorejczykom. Jako jeńcy byli czasem wypuszczani, gdyż zgodnie z daną obietnicą wracali.

9. Dawnym pitagorejczykom (Filolaos, Archytas, Alkmeon z Krotonu) zawdzięczamy rozważania nad stosunkami ilościowymi tonów oraz astronomiczny obraz świata. Według tego obrazu wszechświat składa się z ognia centralnego, dokoła którego krążą: Słońce, Księżyc, 5 pierwszych planet: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz.  • Ziemia i Antychton, czyli Przeciwziemia zasłaniana stale przez Słońce (razem 10 planet; liczba 10 była według Pitagorasa liczbą doskonałą).

10. Osiągnięcia pitagorasa • Pitagoras opracował matematyczne zasady oktawy i harmonii. Jego matematyczne pomysły docenił Platon, a przez niego oddziałały one na innych uczonych: Galileusza, Keplera i Newtona. • Pitagorasa pamięta się głównie jako twórcę twierdzenia, które głosi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów przyprostokątnych. Pitagoras przeprowadzał także eksperymenty naukowe, badając zależność dźwięków od długości strun

11. Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też: • Dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym, • Wprowadzenie średniej arytmetycznej, • Konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego, • Muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat) – harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych.

12. Twierdzenie pitagorasa • Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych. • W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. • Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

13. Twierdzenie pitagorasa

14. DOWODY TWIERDZENIA PITAGORASA Układanka

15. Przez podobieństwo • Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Na rysunku obok trójkąty: "duży" –ABC, "różowy„- ADC i "niebieski" – DCB są podobne.

16. Z przystawania Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC są równe polom odpowiednich na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

17. Dowód Garfielda- układanka

18. TWIERDZENIE ODWROTNE Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b i c takie, że , to istnieje trójkąt o bokach długości a, b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty. Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

19. Trójkąt egipski

20. Trójki pitagorejskie • Trójka pitagorejska a liczby pitagorejskie – w teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa. Tablice trójek pitagorejskich skomponowane ok. 1800 lat p.n.e. w Babilonii

21. KSIĘŻYCE HIPOKRATESA • Księżyce Hipokratesa - są to figury geometryczne w kształcie księżyców związane z wielokątem wpisanym w okrąg O. Są one ograniczone łukami okręgu O oraz półokręgami, których średnicami są boki danego wielokąta. Zostały odkryte przez Hipokratesa z Chios w trakcie jego prac nad problemem kwadratury koła. W przypadku gdy wielokąt jest prostokątem lub trójkątem prostokątnym suma pól księżyców Hipokratesa jest równa polu tego prostokąta lub trójkąta prostokątnego (odpowiednio).

22. KSIĘŻYCE HIPOKRATESA

23. TWIERDZENIE COSINUSÓW • Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa)– twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

24. BRYŁY • OSTROSŁUPY-wielościany, których jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku. • Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. • Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości ostrosłupa. • Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem nazywamy ostrosłupem n-kątnym. • Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości ostrosłupa. • Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o polu podstawy Pp i polu powierzchni bocznej Pb jest równe:Pc = Pb + Pp • Objętość ostrosłupa o polu podstawy Pp i wysokości h jest równaV=13Pp·H

25. Czworościan foremny- ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi .

26. GRANIASTOSŁUPY • GRANIASTOSŁUPY-wielościany, których wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych podstawami graniastosłupa i których wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe.

27. RODZAJE GRANIASTOSŁUPÓW: • Graniastosłup prosty - graniastosłup w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

28. Graniastosłup pochyły - graniastosłup w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy.

29. Prostopadłościan - graniastosłup w którym wszystkie ściany są prostokątami.

30. Graniastosłup prawidłowy - graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokąt foremny.

31. Zastosowanie tw. Pitagorasa w bryłach • Wyznaczanie wysokości bryły • Wyznacznie przekątnej graniastosłupa lub przekątnej ściany bocznej • Wyznaczenie długości boków podstawy • Wyznaczanie wysokości ściany bocznej dowolnego ostrosłupa

32. FIGURY OBROTOWE BRYŁY OBROTOWE-bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu).

33. RODZAJE BRYŁ OBROTOWYCH: Walec-bryła obrotowa uzyskana przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jego bok.

34. Stożek-bryła obrotowa uzyskana przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z prostokątnych tego trójkąta.

35. Kula - bryła obrotowa uzyskana z obrotu koła wokół prostej zawierającej średnicę koła.

36. DOŚWIADCZENIA I ZAJĘCIA 12.12.2011r. Witaj Pitagorasie! Tego dnia wybraliśmy temat pracy na nowy semestr. 16.12.2011r. Oglądaliśmy film o starożytnych Egipcjanach i używaniu przez nich wielu własności trójkątów

37. 19.12.2011r. Uzupełniliśmy test wstępny 02 i 09.01.2012r. Rozwiązywaliśmy ćwiczenia z użyciem Twierdzenia Pitagorasa 23.01.2012r. Szukaliśmy dowodów na prawdziwość Twierdzenia Pitagorasa (metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.) 30.01.2012r. Badaliśmy zachowanie pól wielokątów foremnych zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. 16.02.2012r. Rozwiązywaliśmy zadania związane z trójkątami prostokątnymi 27.02.2012r, Robiliśmy konstrukcje odcinków z pomocą Twierdzenia Pitagorasa

38. 03.03.2012r. Zajęcia terenowe- Wzięliśmy sznurki, miary i wyruszyliśmy na poszukiwania cieni budynków. Dokonaliśmy niezbędnych pomiarów, aby sprawdzić, czy teoria sprawdza się w praktyce. Drugie doświadczenie pokazało, jak dużo precyzji potrzeba do wyznaczenia kąta prostego w terenie. Zbudowaliśmy również poziomicę z użyciem deski, słoika oraz wody i oliwy. Przydała się do poziomowania położenia przedmiotów w doświadczeniach.

45. 05.03.2012r. Rozwiązywaliśmy test zakończeniowy , zdobyta wiedza bardzo się przydała 09,16 i 23.03.2012r. Zadania z graniastosłupami i ostrosłupami przy użyciu Twierdzenia Pitagorasa 30.03.2012r. Konstrukcje 02.04.2012r. Dla utrwalenia rozwiązywaliśmy zadania z planimetrii

46. PODSUMOWANIE Wybrany temat posłużył nam do powtórzenia wiadomości przed egzaminem gimnazjalnym Zastosowaliśmy tw. Pitagorasa do doświadczalnego wyznaczania kąta prostego w terenie Rozwiązywaliśmy zadania problemowe dotyczące brył, figur płaskich Temat pomógł naszej grupie w dobrym przygotowaniu do testu końcowego po gimnazjum

47. DZIĘKUJEMY 