Exemples

1. Exemples d = 15+6 = 21 Soit d’= 21 / gcd(14,21) = 3

2. Exemples d = 5+6 = 11 Soit d’= 11 / gcd(11,11) = 1

3. Applications Quasi-Affines Definition : Un pavé d’ordre 2 est l’ensemble des points dont l’image par l’AQA appartient au pavé d’ordre 1 pour l’indice i,j Il y a d’2 pavés distincts à l’ordre 2

4. Exemples d = 1+1 = 2 Soit d’= 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à l’ordre 2

5. Exemples d = 1+1 = 2 Soit d’= 2 / gcd(2,3) = 2 8 pavés différents à l’ordre 3

6. Exemples Ordre 2 Ordre 1 Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5 Ordre 7

7. Applications Quasi-Affines Definition :application contractante Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons ||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne. Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe a tel que f(a)=a

8. Applications Quasi-Affines Propriété :AQA contractante Si l’application affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon

9. Dynamique Trajectoire du point (10,0) La dynamique de l’AQA est définie par la suite Xn = F(Xn-1)

10. Dynamique Bassin attracteur : un bassin attracteur d’un cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle. Z2 est décomposée en bassin d’attracteur

11. Dynamique • Cycle Limite : une suite {Pn} de longeur n telle que F(Pi)=Pi+1 pour i<n, et F(Pn)=P1 • Racine: un point d’un cycle limite. Une racine non triviale est reliée à un arbre non limitée à sa racine. • Arbre : Pour une racine R appartenant à un cycle limite C, un arbreest l’ensemble des points P pour lequel il exist n>0 tel que Fn (P)=R et Fn-1 (P) C.

12. Dynamique • Point fixe : Un point fixe pour une AQA P est un 1-cycle • Arbre isolé : Arbre d’un point fixe • Cycle isolé : Un cycle limite avec des racines toutes triviales. • Feuille : point P tel que F-1(P) = 

13. Dynamique • a 1 unique point fixe : (0,0) • Pas d’autres cycle limite. • a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1) • Pas d’autres cycles limites. • a 5 points fixes : • (0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)

14. Dynamique • a 32768 points fixes. • a 1043 3-cycles et l’origine comme • point fixe

15. Dynamique

16. Dynamique Autour de l’origine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …

17. Dynamique Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à l’origine qui est l’unique point fixe.

18. Dynamique Quatre bassins attracteurs infinis

19. Dynamique La couleur donne la distance au point fixe

20. A propos des Aqas • - Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique. • Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple). • Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations. • Les AQAs permettent de construire des pavages. • Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

21. Exemples d’ AQA : Rotations discrètes bijectives

22. Rotation discrète classique Rot(a) Problème : perte d’information

23. Rotation discrète classique Perte d’information

24. Rotation pythagoricienne Andres (1992) with a2 + b2 = (b+1)2

25. Rotation pythagoricienne Théorème La rotation pythagoricienne est une transformation discrète bijective Evaluation de la qualité de la rotation : Distance max et min entre un point tourné par les rotations discrètes et continues : Max = 0.707 average = 0.3